代数：集合+运算
组成元素
- 集合
- 二元运算：“+”“·”封闭性
- 单位元identity element：单位元与其他元素结合，不改变元素
- 逆元素inverse element
- 结合律 associative property (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c).
- 交换律 commutative property a ∗ b = b ∗ a.
群：代数结构(R, *)
原群
只满足封闭性
半群（Semigroup）
满足结合律(ab)c=a(bc)的原群
幺半群（monoid）
满足结合律和存在单位元
群（group）
- 封闭性
- 结合律
- 单位元
- 逆元
阿贝尔群（Abelian）
在群的基础上满足交换律：a * b = b * a
环：代数结构(R, +, ·)
在阿贝尔群的基础上，添加一种二元运算·。
环公理：
- (R,+)是阿贝尔群
- (R,·)是幺半群
- 乘法对加法满足分配律：
a ⋅ (b + c) = (a ⋅ b) + (a ⋅ c)
(b + c) ⋅ a = (b ⋅ a) + (c ⋅ a)
域：代数结构(R,+,·,/(除零外，有逆元))
域(Field)在交换环的基础上，还增加了二元运算除法，要求元素(除零以外)可以作除法运算，即每个非零的元素都要有乘法逆元。
有理数、实数、复数可以形成域.
域公理
- 满足环：
1） (R,+)是阿贝尔群：加法封闭、结合律、幺元、逆元、交换律
2）(R,·)是幺半群：乘法封闭、结合律、幺元
3）乘法对加法满足分配律 - 乘法除0外有逆元
- 乘法满足交换律