群的定义
设G为一个元素的集合,称G内的元素为元,*为针对G这个集合的元素的运算,当 满足以下要求的时候,我们称 为群
- 封闭性:G内的任何两个元的*运算的结果仍在G内
- 交换律:
- 单位元:任何
- 逆元:
比如:
那么封闭性和交换律显然符合要求,而单位元为0,a(a!=0)的逆元为n-a,0的逆元为0,那么我们就称 为群
有限群的阶 |G|:G的元素的数量
置换定义
有点像游戏里面各种属性的克制
置换 表示G中每个元素在一次变换后的下一个状态
置换的运算符号记作
表示方法一:矩阵
表示 的下一个状态为 , 的下一个状态为 ……
表示方法二:循环节
假设有置换 ,那么就可以用(1,2,3)来表示
而(1,2,3)(3)表示1->2,2->3,3->3
表示置换 的循环节的个数
置换群的定义
置换群不是某种带有置换属性的群,而是群的元素为置换
设G为有限集X上的置换的集合,若G满足群的定义,则 被称为一个置换群。
置换群下的一些定义
一:等价
如果元素a在某个置换 的作用下变成了b,则a与b等价,记作a~b
二:等价类&轨迹
G的一个元素在置换的作用下会变成下一个元素,下一个元素也有下一个元素,一直变换下去就会形成一条路径,我们形象的称之为G的轨迹,轨迹上的元素称为一个等价类。显然两条轨迹不会相交。
a的等价类表示所有a可以变换到(可能不止一步)的元素的集合,记作
等价类的数量记作 ,而大多数题目都需要求这个L。
三:不动置换类(置换的类)
对于某个元素a,所有满足a->a的置换的集合,称为a的不动置换类,记作
四:不动点集(元素的类)
对于某个置换 ,所有满足在这个置换下不变的元素的集合,称为 的不动点集,记作
若 , ,则 共3个元素。