群论基础
by blutrex
群
对于集合G 和二元运算∗,若:
- 封闭性:∀f, g ∈ G,有f ∗ g ∈ G;
- 结合律:∀f, g, h ∈ G,有(f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h);
- 单位元:∃e ∈ G,∀g ∈ G,有g ∗ e = e ∗ g = g;
- 逆元:∀g ∈ G,∃f ∈ G,使f ∗ g = g ∗ f = e,记作 。
则称G 对∗ 构成一个群,记作群(G, ∗)。
根据结合律和逆元,可以证明群满足消去律:若f, g, h ∈ G,且
f ∗ h = g ∗ h 或h ∗ f = h ∗ g,则f = g。
注意:群不一定满足交换律;单位元唯一;任意元素的逆元唯
一。
群的作用
对于群(G, ∗)、集合X 和左二元关系φ : G × X → X(将
φ(g, x) 简记为g · x),若:
- 单位元:e ∈ G 为单位元,∀x ∈ X,有e · x = x;
- 兼容性:∀f, g ∈ G,∀x ∈ X,有(f ∗ g) · x = f · (g · x)。
则称G 可左作用于集合X。
根据单位元、群逆元和兼容性,可以证明群作用是一个双射,即
若g · x = y,则g 唯一。
类似可定义右作用x · g。
轨道和不动点
定义
在G 的轨道为G 的元素作用于x 得到的所有结果的
集合,即
定义 等价当且仅当
所有轨道的集合为
X上 的不动点的集合为作用后不变的点的集合,即
置换
一个置换
,其中
是
到
的排列,
置换的复合 为
置换的幂 为 个 的复合。
显然置换对 满足结合律。
对于置换 ,如果建一个图,从 向 连一条有向边,则得到的一定是若干个环(可能有自环)。每一个环,叫做置换群的一个循环节,记循环节数为 。
置换群
是置换的集合,且对
满足群的定义(置换满足结合律,因此只需再满足封闭性、单位元、逆元即可),则称
是置换群。
例如:对于一个长为
的环,将其旋转
到
格的所有操作的集合就是置换群。
群的作用
对于所有合法长度为
的序列
的集合
,和长为
的置换群
,对
,定义
轨道计数
给定一个群
,方案
本质相同当且仅当
,要求本质不同的方案数。
这就是求
在
的轨道数,即求
。
这常用Burnside引理或Pólya定理解决。
Burnside引理
Burnside引理
即轨道数等于所有置换点的不动点的平均数。
Pólya定理
对于长为 的置换群 和可作用于 的长为 的序列集合 (即序列中每个元素都属于 ,且彼此无限制),有:
Pólya定理
经典题
- 路径计数
- 环染色
- 密铺
高级群论应用
- Pólya 定理的生成函数形式
- Pólya 定理的带权生成函数形式
- 三个点本质不同的无向图计数
- 本质不同的有根三叉树计数
- 无标号环的计数
总结(讲垃圾话)
blutrex 作为 CDQZ 优秀学长,给我们队上课好像也不是什么奇怪的事情,但第一次跟清华爷交跤♂流,深深知晓了实力的巨大差距。别人NOI银牌,THU降一本,高考还670+,或许这就是CDQZ的力量:
选择QZ,就是选择了一条艰苦奋斗的成功之路!
QZ塑造你的精神长相,你代言QZ人的理想
与各位共勉。