CTFT
证明若
xa(t)是有限的,式
Xa(jΩ)=∫−∞∞xa(t)e−jΩtdt
定义的
Xa(jΩ)的绝对值绝对可积。
解:
∫−∞∞∣xa(t)∣dt<∞
∣Xa(jΩ)∣=∣∫−∞∞xa(t)e−jΩtdt∣≤∫−∞∞∣xa(t)∣∣e−jΩt∣dt=∫−∞∞∣xa(t)∣dt<∞
求定义在
−∞<t<∞的下列连续时间函数的CTFT
:
(a)
ya(t)=sin(Ωat)
(b)
ua(t)=e−α∣t∣
(c)
va(t)=ejΩ0t
(d)
pa(t)=∑l=−∞∞δ(t−lT)
(e)
ga(t)=e−at2
解:
(a)
sin(Ω0t)=2j1(ejΩ0t−e−jΩ0t)
而
1CTFT
2πδ(Ω)
所以
1⋅ejΩ0tCTFT
2πδ(Ω−Ω0)1⋅e−jΩ0tCTFT
2πδ(Ω+Ω0)
则
sin(Ω0t)CTFT
πj(δ(Ω+Ω0)−δ(Ω−Ω0))
(b)
U(jΩ)=∫−∞∞e−α∣t∣e−jΩtdt=∫−∞0eαte−jΩtdt+∫0∞e−αte−jΩtdt
∫0∞e−αtdt=−α1e−αt∣0∞=α1
则
U(jΩ)=∫−∞0eαte−jΩtdt+∫0∞e−αte−jΩtdt=∫0∞e−αtejΩtdt+∫0∞e−αte−jΩtdt=α−jΩ1+α+jΩ1=Ω2+α22α
即
e−α∣t∣CTFT
Ω2+α22α
(c)
ejΩ0tCTFT
2πδ(Ω−Ω0)
(d)
pa(t)是周期为
l的周期函数,所以可以将其进行傅里叶级数展开,其主周期的傅里叶变换为
F(jΩ)=CTFT[δ(t)]=1
故其傅里叶级数的系数为
cn=T1F(jΩ)∣Ω=nΩ0=T1=l1
即
l=−∞∑∞δ(t−lT)=n=−∞∑∞l1ejnΩ0t
其中
Ω0=l2π,将上式两边同时进行傅里叶变换
CTFT[l=−∞∑∞δ(t−lT)]=l1n=−∞∑∞2πδ(Ω−nΩ0)=Ω0n=−∞∑∞δ(Ω−nΩ0)
即
l=−∞∑∞δ(t−lT)CTFT
Ω0n=−∞∑∞δ(Ω−nΩ0),Ω0=l2π
(e)
∫−∞∞e−at2e−jΩtdt=∫−∞∞e−a(t2+22ajΩt+(2ajΩ)2)+a(2ajΩ)2dt=e−4aΩ2∫−∞∞e−a(t+2ajΩ)2dt
考虑一高斯分布为
2π
2a
11e−a(t+2ajΩ)2⇒∫−∞∞π
a
e−a(t+2ajΩ)2dt=1⇒∫−∞∞e−a(t+2ajΩ)2dt=a
π
所以
∫−∞∞e−at2e−jΩtdt=aπ
e−4aΩ2
所以
e−at2CTFT
aπ
e−4aΩ2
求定义在
−∞<t<∞的下列连续时间函数的CTFT
:
(a)
va(t)=1
(b)
μa(t)={1,t≥00,t<0
(c)
xa(t)=⎩⎪⎨⎪⎧1,21,0,∣t∣<21∣t∣=21∣t∣>21
(d)
ya(t)={1−2∣t∣,0,∣t∣<21∣t∣≥21
解:
(a)
由于
1既不绝对可和,也不平方可和,所以不能从定义直接得到,不过可以考虑
1=α→0lime−α∣t∣
由于
e−α∣t∣CTFT
Ω2+α22α
所以
α→0limΩ2+α22α={∞,0,Ω=0Ω̸=0
并且
α→0lim∫−∞∞Ω2+α22αdΩ=α→0lim2∫∞∞1+α2Ω21d(αΩ)=α→0lim2arctan(αΩ)∣−∞∞=2π
所以
1CTFT
2πδ(Ω)
(b)
μ(t)既不是平方可和,也不是平方可和的,所以还得用别的办法:
μ(t)=21(1+sgn(t))
CTFT[μ(t)]=CTFT[21(1+sgn(t))]=πδ(Ω)+jΩ1
(c)
这道题暂时没想到怎么做
(d)
该函数为
Λ(2t),由于
Λ(t)CTFT
(2Ωsin(2Ω))2=Sa2(2Ω)
所以
Λ(2t)CTFT
41Sa2(4Ω)
为了方便,式定义的高斯密度函数重写如下:
h(t)=σ2π
1e−2σ2(t−μ)2
其中,
σ和
μ分别是该密度函数的方差和均值。具有上式给出的零均值的冲激响应的连续时间的滤波器称为高斯滤波器。证明
h(t)的
CTFT也是
Ω的高斯函数。
解:考虑零均值的高斯函数
h(t)=σ2π
1e−2σ2t2
令
a=2σ21,则
h(t)=σ2π
1e−at2
之前已经证明
e−at2CTFT
aπ
e−4aΩ2
则
CTFT[h(t)]=σ2π
1aπ
e−4aΩ2=e−2σ2Ω2
服从高斯分布。
有限能量的函数
xa(t)=sin(t)/πt不是绝对可和的。证明其
CTFT为
Xa(jΩ)={1,0,∣Ω∣≤1∣Ω∣>1
解:
Xa(jΩ)=∫−∞∞xa(t)e−jΩtdt=∫−∞∞πtsin(t)e−jΩtdt=∫−∞∞πtsin(t)(cos(Ωt)−jsin(Ωt))dt=∫−∞∞πtsin(t)cos(Ωt)dt=∫0∞πtsin(Ω+1)t+sin(Ω−1)tdt=πΩ+1∫0∞(Ω+1)tsin(Ω+1)t−πΩ−1∫0∞(Ω−1)tsin(Ω−1)t=2∣Ω+1∣Ω+1−2∣Ω−1∣Ω−1
容易验证
X(jΩ)={1,0,∣Ω∣≤1∣Ω∣>1
考虑
CTFT对
xa(t)CTFT
Xa(jΩ)
证明下面的定理:
(a)
时移定理:
xa(t−t0)CTFT
Xa(jΩ)e−jΩt0
(b)
频移定理:
xa(t)ejΩ0tCTFT
Xa(j(Ω−Ω0))
(c)
对称定理:
Xa(t)CTFT
2πxa(−jΩ)
(d)
尺度缩放定理:
xa(at)CTFT
∣a∣1Xa(jaΩ)
(e)
时间微分定理:
dtdxa(t)CTFT
jΩXa(jΩ)
解:
(a)
∫−∞∞xa(t−t0)e−jΩtdtm=t−t0
∫−∞∞xa(m)e−jΩme−jΩt0dt=Xa(jΩ)e−jΩt0
(b)
∫−∞∞xa(t)ejΩ0te−jΩtdt=∫−∞∞xa(t)e−j(Ω−Ω0)tdt=Xa(j(Ω−Ω0))
(c)
xa(t)=2π1∫−∞∞X(jΩ)ejΩtdΩ⇒∫−∞∞X(jΩ)ejΩtdΩ=2πxa(t)
∫−∞∞X(t)e−jΩtdt=∫−∞∞X(t)ej(−Ω)tdt=2πxa(−jΩ)
(d)
∫−∞∞xa(at)e−jΩtdt
若
a>0,令l=at
∫−∞∞xa(l)e−jaΩld(al)=a1∫−∞∞xa(l)e−jaΩldl=a1Xa(ajΩ)
若
a<0,令l=at
∫∞−∞xa(l)e−jaΩld(al)=−a1∫−∞∞xa(l)e−jaΩldl=−a1Xa(ajΩ)
注意这里因为
a<0,所以变量替换的时候积分上下限的正负性发生变化
综上
xa(at)CTFT
∣a∣1Xa(ajΩ)
(e)
xa(t)=2π1∫−∞∞X(jΩ)ejΩtdΩ
左右两边同时对
t进行积分
dtdxa(t)=2π1∫−∞∞jΩX(jΩ)ejΩtdΩ
所以
dtdxa(t)CTFT
jΩXa(jΩ)
令
Xa(jΩ)表示实值连续时间函数
xa(t)的
CTFT。证明其幅度谱
∣Xa(jΩ)∣是
Ω的偶函数,而相位谱
θ(Ω)=arg{Xa(jΩ)}是
Ω的奇函数。
解:由于
xa(t)为实值函数,所以
xa(t)=xa∗(t)
∫∞−∞xa∗(t)e−jΩtdt=(∫∞−∞xa(t)e−j(−Ω)tdt)∗=Xa∗(−jΩ)
⇒Xa(jΩ)=Xa∗(−jΩ)⇒Xa(−jΩ)=Xa∗(jΩ)
则
∣Xa(jΩ)∣=∣Xa∗(jΩ)∣=∣X(−jΩ)∣
arg{Xa(jΩ)}=−arg{Xa∗(jΩ)}=−arg{Xa(−jΩ)}
所以其幅度谱为偶函数,其相位谱为奇函数。
证明式
hHT(t)=πt1
定义的希尔伯特变换的
CTFT是
HHT(jΩ)={−j,j,Ω>0Ω<0
解:
HHT(jΩ)=∫−∞∞πt1e−jΩtdt=π1∫−∞∞tcosΩt−jsinΩtdt=π−2jΩ∫0∞ΩtsinΩtdt=−j∣Ω∣Ω={−j,j,Ω>0Ω<0
这里使用了一个结论
∫0∞ΩtsinΩtdt=2∣Ω∣π
设
x(t)是实值输入信号,其
CTFT为
X(jΩ)=Xp(jΩ)+Xn(jΩ),其中
Xp(jΩ)是占据
X(jΩ)正频率范围的分量,
Xn(jΩ)是占据
X(jΩ)负频率范围的分量。令
x^(t)表示
x(t)的希尔伯特变换。证明:复值信号
y(t)=x(t)+jx^(t)的
CTFTY(jΩ)为
Y(jΩ)=2Xp(jΩ),即
y(t)的谱只包含正频率范围的分量。
解:
由希尔伯特变换的定义
X^(jΩ)=−jXp(jΩ)+jXn(jΩ)
则信号
y(t)=x(t)+jx^(t)的傅里叶变换为
Y(jΩ)=X(jΩ)+jX^(jΩ)=Xp(jΩ)+Xn(jΩ)+j(−jXp(jΩ)+jXn(jΩ))=2Xp(jΩ)
计算式
xa(t)={e−αt,0,t≥0t<0
中连续时间信号在
α=0.6时的总能量,并计算其
75%带宽。
解:
ε2=∫−∞∞x2(t)dt=∫−∞∞e−2αtdt=2α1=65
X(jΩ)=α−jΩ1
则
2π1∫−ΩcΩcX(jΩ)X∗(jΩ)dΩ=2π1∫−ΩcΩcα2+Ω21dΩ=0.75⋅2α1=8α3
而
2π1∫−ΩcΩcα2+Ω21dΩ=2π1∫−ΩcΩcα11+(αΩ)21dαΩ=απ1arctan(αΩc)
⇒arctan(αΩc)=83π
DTFT
证明
μ[n]的
DTFT为
X(ejw)=1−e−jw1+∑k=−∞∞πδ(w+2πk)。
解:
如果直接按照定义去求的话,会发现是无穷级数不是收敛的,所以该级数一定有狄拉克函数的形式。
将
μ[n]分为奇偶两部分,则
xev[n]=21(u[n]+u[−n])=21+21δ[n]
xod[n]=21(u[n]−u[−n])=21(2μ[n]−(μ[n]+μ[−n]))=μ[n]−21−21δ[n]
则偶数部分的DTFT为
Xev(ejw)=k=−∞∑∞πδ(w+2πk)+21
因为奇数部分中含
μ[n],稍微变一下形
xod[n]−xod[n−1]=21(δ[n]+δ[n−1])⇒(1−e−jw)Xod(e−jw)=21(1+e−jw)⇒Xod(ejw)=211−e−jw1+e−jw=−21+1−e−jw1
则
X(ejw)=Xev(ejw)+Xod(ejw)=1−e−jw1+k=−∞∑∞πδ(w+2πk)
证明序列
x[n]=1的
DTFT为
X(ejw)=∑k=−∞∞2πδ(w+2πk),−∞<k<∞
解:
求
X(ejw)的反变换
x[n]=2π1∫−ππX(ejw)ejwtdw=∫−ππk=−∞∑∞δ(w+2πk)dw=1
所以
1DTFT
k=−∞∑∞2πδ(w+2πk),−∞<k<∞
求双边序列
y[n]=α∣n∣,∣α∣<1的
DTFT。
解:
X(ejw)=n=−∞∑∞α∣n∣e−jwn=−∞∑−1α−ne−jwn+n=0∑∞αne−jwn=m=1∑∞αmejwm+n=0∑∞αne−jwn=1−αejwαejw+1−αe−jw1
设
X(ejw)表示实序列
x[n]的
DTFT。
(a)
证明:若
x[n]是偶序列,则它可以用
x[n]=π1∫0πX(ejw)cos(nw)dw从
X(ejw)计算。
(b)
证明:若
x[n]是奇序列,则它可以用
x[n]=πj∫0πX(ejw)sin(nw)dw从
X(ejw)计算。
解:
DTFT[x[−n]]=n=−∞∑∞x[−n]e−jwnm=−n
m=−∞∑∞x[m]e−j(−w)m=X(e−jw)
即
x[−n]DTFT
X(e−jw)
x[n]=2π1∫−ππX(ejw)ejwndw=2π1∫−ππX(ejw)(cos(wn)+jsin(wn))dw=2π1∫−ππX(ejw)cos(wn)dw+2πj∫−ππX(ejw)sin(wn)dw
(a)
由于
x[n]是实序列且为偶序列,所以
x[n]=x[−n],所以
X(ejw)=X(e−jw),即
X(ejw)为偶函数,所以
X(ejw)cos(wn)为偶函数,
X(ejw)sin(wn)为奇函数,所以
x[n]=2π1∫−ππX(ejw)cos(wn)dw+2πj∫−ππX(ejw)sin(wn)dw=π1∫0πX(ejw)cos(wn)dw
(b)
同理,仿照上面即可得出
x[n]=πj∫0πX(ejw)sin(wn)dw
求因果序列
x[n]=Aαncos(w0n+ϕ)μ[n]的
DTFT,其中
A、α、w0和
ϕ是实数,
∣α∣<1。
解:
x[n]=Aαncos(w0n+ϕ)μ[n]=2Aαn(ej(w0n+ϕ)+e−j(w0n+ϕ))μ[n]=2Aαnejϕejw0nμ[n]+2Aαne−jϕe−jw0nμ[n]
αnμ[n]DTFT
1−αe−jw1
所以
αnejw0nμ[n]DTFT
1−αe−j(w−w0)1
αne−jw0nμ[n]DTFT
1−αe−j(w+w0)1
所以
x[n]DTFT
2Aejϕ1−αe−j(w−w0)1+2Ae−jϕ1−αe−j(w+w0)1
求下面每个序列的
DTFT:
(a)
x1[n]=αnμ[n−1],∣α∣<1
(b)
x2[n]=nαnμ[n],∣α∣<1
(c)
x3[n]=αnμ[n+1],∣α∣<1
(d)
x4[n]=nαnμ[n+2],∣α∣<1
(e)
x5[n]=αnμ[−n−1],∣α∣>1
(f)
x6[n]={α∣n∣,0,∣n∣≤M其他