具体可以看这篇论文:https://arxiv.org/pdf/1403.2431v2.pdf
这篇文章其实是半搬该论文半搬别人博客的
最小回文分解:Minimum Palindromic Factorization
我们令 $PL(S)$表示S的最小回文分解。
那么令len为S的长度。

我们有一个不等式:
$PL(S[1..i])-1\leqslant PL(S[1...i+1])\leqslant PL(S[1..i])+1$
证明：
后半部分显然，考虑如何证明前半部分。
如果S[1…i+1]的回文划分是 $S_{1},S_{2}...S_{l-1},S[h...i+1]$
那么我们很明显可以将S[1…i+1]划分成 $S_{1},...,S_{l-1},S[h],S[h+1...i]$

接下来，我们会给出一个时间复杂度为 $O(nlogn)$，空间为 $O(n)$的算法。

引理1:
如果y是回文串x的前缀并且y是回文串，那么y是x的border。

引理2:
如果y是x的border并且 $|x|\leqslant |2y|$，那么x是回文串当且仅当y是回文串。

引理3:
如果y是回文串x的前缀,那么 $|x|-|y|$是x的循环节当且仅当y是个回文串。
并且 $|x|-|y|$是x的最小循环节当且仅当y是x的最长回文前缀。

引理4:
x是个回文串。y是x的最长回文前缀。z是y的最长回文前缀。
那么x可以表示成uy,y可以表示成vz。
(1) $|u|\geqslant |v|$
证明:如果不成立，那么u可以成为y的最小循环节，与v为y的最小循环节矛盾。
(2) $if\ |u|>{}|v|，那么|u|>|z|$
证明:可以注意到，如果题干成立，那么v是u的一个前缀，也是x的一个前缀。
我们可以将x表示成vw
因为 $|u|>|v|$，那么 $|w|>|y|$。
采用反证法，如果 $|u|\leqslant |z|$
那么 $|w|=|zu|\leqslant 2|z|$
注意到z是w的border。(后缀显然,前缀因为y=vz为vw的前缀)
那么根据引理2，w是回文串。那么w是x的前缀。
这样，y是x的最长回文前缀不成立。
(3) $if\ |u|=|v|,then\ u=v$
显然。
根据引理4，我们可以发现一个回文串border之间的差递减，且可以划分成 $O(log_{n})$个差相等的部分。

以下参考自博客:https://www.cnblogs.com/King-George/p/9612816.html
到这里，我们考虑如何求出最小回文分解。
我们建出回文树。
令 $anc_{u}=\begin{cases} & \text anc_{fail_u},(len_{u}-len_{fail_u}==len_u-len_{fail_{fail_u}})\\ & \text u(otherwise) \end{cases}$
如果我们不停执行 $u=fail_{anc_u}$，那么我们至多执行 $O(log_n)$次
有点树连剖分的感觉。
那么我们令 $S_{u}=\left \{v|anc_{v}=anc_{u},v=fail(fail(...fail(u)))\right \}$
在dp转移时每次会有, $f_{i}=min_{v\epsilon S_u}\left \{f_{i},f_{i-len_v}+1\right \}$
其中 $S_u$最多 $log_i$个。
注意到，所有在 $i-(len_u-len_{fail_{fail_u}}),fail_u$处转移到的v会在i,u处转移到。且i,u多转移到的便是 $f_{i-len_{anc_u}}$
当然，前提是 $anc_u\neq u$.
那，我们记录rem_u为当前经历到u的最后的i转移到的v的最小值。那么当前i经历到的u的 $rem_u$需要根据 $rem_{fail_u}and f_{i-len_{anc_u}}$来更新(当然，前提也是 $anc_u\neq u$)。
当然这里，我们需要证明对于 $i\epsilon(i-(len_u-len_{fail_u}),i)$,i不会经过 $fail_u$
证明略。主要抓住: $len_u-len_{fail_u}=len_{fail_u}-len_{fail_{fail_u}}$
具体代码可以看CF906E。不过它那里的要求和最小回文分解的要求有些出入。
完结撒花！