-1. 瞎BB
我：哎Query教我一下最小回文分解好不好？
LQY：我不会啊。
我：那你那个\(O(nlogn)\)的解法哪来的？
LQY：那个是优化dp.
事实证明那就是最小回文分解，LQYtxdy 于是这篇blog会搬运一些LQY的ppt
0. 定义
最小回文分解：顾名思义，就是把\(s\)分解成尽量少的段，使每段都是回文串。
\(border\)：设有一个字符串\(s\)，我们把既是\(s\)的前缀又是\(s\)的后缀的字符串称为\(s\)的\(border\).
阶段：设字符串\(x=uy\)，其中\(x,y\)都为回文串且\(y\)是\(x\)的真后缀时，我们把\(|u|=|x|-|y|\)称为\(x\)的一个阶段。特别的，如果\(y\)是\(x\)的最长回文真后缀，那么\(|u|\)为\(x\)的最小阶段。
1. 引理
引理1：假设\(y\)是回文串\(x\)的一个\(border\)，则\(y\)也是个回文串。
引理2：假设\(y\)是\(x\)的一个\(border\)，且\(|x|\leq 2|y|\)，则\(x\)是个回文串当且仅当\(y\)是回文串。
这两个引理证明都挺显然的。
引理3：假设\(x\)是个回文串，\(y\)是\(x\)的最长回文真后缀，\(z\)是\(y\)的最长回文真后缀，设\(x=uy,\;y=vx\)，则有
- 引理3-1：\(|u|\geq |v|\)
引理3-2：如果\(|u|=|v|\)，则\(u=v\)
引理3-3：如果\(|u|>|v|\)，则\(|u|>|z|\)
证明：
显然\(y\)是\(x\)的最长回文\(border\)
于是设字符串\(u',v'\)，满足\(x=uy=yu',y=vz=zv'\)
证明3-1
假设\(|u|<|v|\)，由图知，则有\(|u|\)为\(y\)的最小阶段，与\(|v|\)为\(y\)的最小阶段矛盾。
证明3-2
由证明3-1图知，\(v\)为\(u\)的前缀，显然当\(|u|=|v|\)时，\(u=v\) .
证明3-3
首先\(|u|\geq|y|\)时显然得证。
假设\(|u|<|y|,|u|>|v|\)，且\(|u|\leq |z|\) . 设字符串\(u',v'\)，满足\(x=uy=yu',y=vz=zv'\) .
因为\(|u|\leq |z|\)，所以\(2|z|\geq|uz|\)，根据 引理2 得，\(uz\)是个回文串。又有\(|u|>|v|\)，所以\(|v|\)是\(|x|\)的最小阶段，与\(|u|\)是\(|x|\)的最小回文分解矛盾。
好的于是前置的引理就全部证明完了~
2. 最小回文分解
终于进入正题了吗
普通的求回文分解的办法是一个\(O(n^2)\)的\(\texttt{dp}\) : 设\(dp[i]\)表示以\(i\)结尾的字符串的最小回文分解，则有\(dp[i]=min_{j<i,j\in P_i}\{dp[j]+1\}\)，其中\(P_i\)存的是满足\(s[j+1…i]\)为回文串的\(j\) .
把\(P_i\)里的元素从小到大排序，差分一下，然后记\(P_i\)的差分数组为\(Q_i\)，会发现一个性质：
\(Q_i\)中不同的取值最多只有\(log_i\)个
根据引理3-3可知，如果\(|u|>|v|\)，有\(|x|>|u|+|z|>2|z|\)，即\(|z|\leq \frac{|x|}{2}\)，最多只能迭代\(log_i\)次。
还有一个性质：
记三元组\((i,delt,sz)\)表示\(Q_i\)有\(sz\;(sz\geq 2)\)个差分值为\(delt\)，如果存在这样的\((i,delt,sz)\)，就一定存在\((i-delt,delt,sz-1) .\)
其实蛮显然的？
然后考虑如何优化这个\(\texttt{dp}\) :
利用\(Q_i\)中不同的取值只有\(log_i\)个，我们可以按照\(Q_i\)中的取值分别转移。
建立辅助数组\(g[i][delt]\;(delt\in Q_i)\)，表示公差为\(delt\)的回文后缀对答案的贡献。
有 $ g[i][delt]=min(g[i-delt][delt],dp[mx_{delt}-1]+1)$ //没搞明白，问问LQY先
然后暴力扫\(g[i][delt]\)更新\(dp[i]\) .
然后\(g[i][delt]\)其实是可以滚动的，在\(i-delt\)的位置存\(g[i][delt]\)就行了。
至此，就可以用空间\(O(n)\)，时间\(O(nlogn)\)的复杂度求最小回文分解了。
3. 最小回文分解+PAM
咕咕咕