整数对A满足二叉查找树，B满足最大堆

1 题目

给出一组整数对 { (a[0], b[0]), (a[1], b[1]) ... (a[n-1], b[n-1]) }，所有 a 值和 b 值分别不重复（任意 i != j 满足 a[i] != a[j] 且 b[i] != b[j]）。构造一棵 n 结点的二叉树，将这 n 个整数对分配到各个结点上。根和所有子树满足以下条件：1) 所有结点的 a 值满足二叉查找树的顺序，即 left->a <root->a && root->a < right->a；2) 所有结点的 b 值满足最大堆的顺序，即 root->b >left->b && root->b > right->b。

问题一：实现 build 函数，输入 n 个整数对，返回一棵构造好的二叉树。struct pair_t { int a,b;};struct node_t { int a, b; node_t *left, *right;};node_t*build(pair_t* pair, int n);

问题二：已知满足上述条件的二叉树，设计算法实现插入一个整对 (a, b)，使新的二叉树仍满足上述条件。该算法比较复杂，候选人只需描述思路。

若有错误欢迎大家指正，若有更好的方法，欢迎大家指教！

2 分析

该问题的关键就是找树根。

方法一：当前所有整数对的树根为b中最大值对应的整数对I，因为只有这样才能满足最大堆的性质。然后根据I中的a值将整数对分为比a大于比a小两组，小的作为左子树，大的作为右子树。当整数对个数为0时，返回NULL。该方法时间复杂度O(n²)。

方法二(华南理工大神ohm提供)：将整数对按照b进行逆向排序，然后按照a进行二分叉树的插入操作即可。该方法的时间复杂度为O(nlogn)。

3 实现

方法一实现：

struct pair_t
{
	int a, b;
};

struct node_t
{
	int a, b;
	node_t *left, *right;
};

node_t *build(pair_t *pair, int n);
int findMaxB(pair_t *pair, int n);

int findMaxB(pair_t *pair, int n)
{
	int pos = 0;

	for (int i = 1; i < n; ++i)
	{
		if (pair[pos].b < pair[i].b)
		{
			pos = i;
		}
	}

	return pos;
}

node_t *build(pair_t *pair, int n)
{
	if (0 == n)
	{
		return NULL;
	}
	node_t *root = new node_t[1];
	pair_t *pair1 = new pair_t[n];
	pair_t *pair2 = new pair_t[n];
	int num1 = 0;
	int num2 = 0;
	int maxB = findMaxB(pair, n);
	root->a = pair[maxB].a;
	root->b = pair[maxB].b;
	int maxBA = pair[maxB].a;
	for (int i = 0; i < maxB; ++i)
	{
		if (pair[i].a < maxBA)
		{
			pair1[num1].a = pair[i].a;
			pair1[num1++].b = pair[i].b;
		}
		else
		{
			pair2[num2].a = pair[i].a;
			pair2[num2++].b = pair[i].b;
		}
	}
	for (int i = maxB + 1; i < n; ++i)
	{
		if (pair[i].a < maxBA)
		{
			pair1[num1].a = pair[i].a;
			pair1[num1++].b = pair[i].b;
		}
		else
		{
			pair2[num2].a = pair[i].a;
			pair2[num2++].b = pair[i].b;
		}
	}
 	root->left = build(pair1, num1);
	delete []pair1;

 	root->right = build(pair2, num2);
	delete []pair2;
	return root;
}

方法二实现：

void insert(node_t *&root, pair_t p)
{
	if (root == NULL)
	{
		root = new node_t;
		root->a = p.a;
		root->b = p.b;
		root->left = NULL;
		root->right = NULL;
		return;
	}
	if (root->a < p.a)
	{
		insert(root->right, p);
	}
	else
	{
		insert(root->left, p);
	}
}

node_t *build(pair_t *pair, int n)
{
	if (0 == n)
	{
		return NULL;
	}
	node_t *root = NULL;
	sort(pair, pair + n);
	for (int i = 0; i < n; ++i)
	{
		insert(root, pair[i]);
	}
	return root;
}

4 问题二

设插入整数对为(nA, nB)，当前访问树中结点为curNode，插入过程如下：

(1) 若curNode.b>nB，则比较curNode.a与nA，若curNode.a>nA，则curNode=curNode->left；反之，curNode=curNode->right。直到curNode.b<nB或curNode=NULL，停止查找。

(2) 若curNode=NULL，则直接将该整数对插入到此位置即可；反之，将(nA，nB)作为curNode父结点的孩子结点，curNode作为插入结点的孩子结点(根据a的值确定是左孩子还是右孩子)。

(3) curNode作为新插入结点的右(左)孩子，则需要遍历curNode的左(右)子树，找到a值小于nA的子树的根作为新插入结点的左(右)孩子。当然若不存在时先插入结点不存在左(右)孩子。