二维随机变量的条件分布：
定义：
在两个随机变量 X,Y的情况下，给定Y 取某些值的情况下， 称：
是Y =y 的条件下X的条件概率密度；
离散型随机变量的条件分布：
为在 Y = 
条件下随机变量 f(x,y) 的条件分布律；
即 离散型随机变量的条件分布 = 联合分布 概率 / 边缘分布 概率（注意，可能会用到级数）；
连续型随机变量的条件分布：
称 它为 极限 X= x的条件下，y的条件分布函数； 记为： P{Y<= y | X = x} 或者：
且有： 
即： 对条件概率密度 积分 可求得 条件分布；
联合分布 可求 边缘分布 以及条件分布； 边缘分布 与 条件分布 也可求 联合分布；
相互独立的随机变量：
判定： 1. 变量间互不影响（离散型）；
2. 它们的两个边缘分布 概率的乘积 等于联合分布 概率（连续型）；
即 对连续性随机变量，若： 
成立，则 这两个随机变量相互独立；
数学期望：
理解： 即 加权平均， 也即： 随机变量可能取到的值与其概率之积 的累加；
离散型随机变量的数学期望：
设 X 分布律 为： 
若 级数： 
绝对收敛，则 称 级数 的和 为 随机变量X 的数学期望，记为： E(X);
E(x) =
连续型随机变量的数学期望：
设连续型随机变量 X 的概率密度 为 f(x) , 若积分 
绝对收敛，则称 积分 为X 的数学期望，记为：E(X);
E(x) =
常见随机变量的数学期望：
指数分布: 
方差：
数学期望：θ;
均匀分布： 
方差： 
数学期望： 
二项分布： 
方差： np(1-p) 数学期望： np
泊松分布： 
方差： λ 数学期望：λ
正态分布： 
方差： σ^2 数学期望： μ
数学期望的性质：
1. E(C) =c;
2. E(2C) = 2E(C);
3. E(X+Y) = E(X)+E(Y);
4. 若 X与 Y 相互独立，则E(X*Y) = E(X)E(Y);
二维随机变量的数学期望：
E(XY) =
随机变量的函数 的数学期望：
离散型： 概率（权值）不变，相应的随机量变化；
连续型： E( g(x) ) = 
(大写变小写)
随机变量的方差：
常用来体现随机变量取值 分散程度的量；
定义：
若X 是 一个随机变量，有： 
存在，称： 
为 X 的方差，记为 D(X);
D(X) = E(X^2) - E^2(X), 即：方差 等于 随机变量的平方 的期望 - 随机变量的期望 的平方；
为标准差 或 均方差，记为 ：σ(X);
离散型随机变量的方差计算：
连续型随机变量的方差计算：
或者： 
性质：
1. D(C)=0; C 为常数；
2. 若X,Y相互独立， 则： D(X+- Y) = D(X) +- D(Y);
3. D(CX) =C^2 * D(X);
4. D(aX+b) = a^2 * D(X);
5. D(-X) = D(X);
标准化变量： 
的期望为 0， 方差为 1；
切比雪夫不等式:
若随机变量 X 具有 E(X) = μ， 方差 D(X) = σ^2 , 则 对于任意 ε， 有不等式：
协方差:
定义：
Cov(X,Y) = E[ ( X-E(X) )*(Y-E(Y) ) ] ;
计算公式:
若 X,Y 相互独立， Cov(X,Y) = E[ X-E(X)] * E[Y-E(Y)] =0；
Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y);
D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2 Cov(X,Y);
D(X-Y) = D(X) + D(Y) - 2 Cov(X,Y);
性质：
Cov(X,Y) = Cov(Y,X);
Cov(aX,bY) = ab Cov(X,Y);
Cov(X1+X2,Y) = Cov(X1,Y) + Cov(X2,Y);
若 X,Y相互独立，则 E(X,Y) = E(X)*E(Y);
相关系数:
定义:
设 (X,Y) 为 二维随机变量， D(X),D(Y) Cov(X,Y) 满足： 
, 称 
为相关系数， 它反映了 X与 Y 相关关系的无量纲的关系；
当 =0 时， X 与 Y 不相关；
注意： 相互独立 ==> ρ=0； ρ=0 =/=>相互独立；
性质：
-1 <= <= 1;
| | =1 的充要条件: 存在 a,b ,使得 P(Y = a+bX) =1,即 X与 Y 几乎处处有线性关系；
>0 称为 正相关； <0 称为 负相关；
当 =1时，线性关系最强；
大数定理：
伯努利大数定理： 包含 切比雪夫弱大数定理； 辛钦弱大数定理；
概率是频率的稳定值；
抛硬币实验的数学意义：
它表示 频率不一定 为 1/2， 但与 1/2 的偏差 >= ε的概率为0；
切比雪夫弱大数定理：
设 x1,x2 ... 为独立随机变量序列，它们具有共同的数学期望μ， 并且 D(xi) <= C, i=1,2 ...
且 对任意的 ε >0 ， 有 D(xi):
辛钦弱大数定理：
设 x1,x2 ... 相互独立，服从同一分布， 具有数学期望： E(xi) = μ，i=1,2, ... , 且 对任意的 ε >0, 有：
中心极限定理：
作用: 用于研究正态分布； 用于研究 独立的随机变量；
定义：
把 随机变量的和 的分布 收敛于 正态分布 这一类 定理 称为 中心极限定理；
求和的标准化公式: 
定理一：
随机变量序列 独立 且服从同一分布时， 有：
： 求概率的方法
定理二（德莫佛-拉普拉斯方程）：
设随机变量 
(n=1,2,...) 服从参数为 n,p的二项分布， 则对于任意x ，恒有：
它的修正方程：
