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想写这篇文章的一个动力是这道题:
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5194
这是BestCoder35比赛的第一题。想了半天只会暴力方法。附上原题作者给的解答:
题目意思就是:
n个黑球,m个白球。现在不放回的拿球直到没有球可拿。拿出黑的记1.白的记0。整个序列出现“01”的次数的期望
原文解答中提到了期望的可加性。呜,这个当时已经忘了。今天准备复习概率论某个知识点的时候,顺便复习了一下这个性质。
这个性质就是:
E(X+Y)=E(X)+E(Y);
证明如下:
注意,证明过程中没有要求X,Y独立。
这个就是我要说的性质~。
回到题目:
这个题目中,我们可以定义随机变量Xi为:
则有:
X=x1+x2+x3+...
且,E(xi)=p(xi=1)=(m/m+n)(n/m+n-1)
则E(X)=E(X1+X2+X3+...X(m+n-1))
=E(1)+E(2)+...+E(m+n-1)
=mn/(m+n)
高教社《概率论与数理统计》盛骤老师所著一书中有一道例题,也在这里附上,供比较。
注意此题中强调独立是为了计算概率。期望的可加性不需要独立。