设原数组为： $a[1],a[2],a[3]...a[n]$
记录其查分序列： $c[1]=a[1],c[2]=a[2]-a[1],c[3]=a[3]-a[2]...c[n]=a[n]-a[n-1]$
此时有： $a[i]=c[1]+c[2]+...c[i]$
那么原数组的前缀和变为： $\sum_{i=1}^ka[i]=kc[1]+(k-1)c[2]+...c[k]$
维护一个辅助数组cc： $cc[i]=(i-1)c[i]$
那么原数组前缀和变成： $\sum_{i=1}^ka[i]=k\sum_{i=1}^kc[i]-\sum_{i=1}^kcc[i]$
区间查询就可以实现了，接下来是区间更新

如果我需要对[L,R]区间的数加上V，只需要利用查分序列修改两端的值即可 $c[L]+=V,c[R+1]-=V,cc[L]+=(L-1)V,cc[R+1]-=RV$

例题

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
#define debug(i) printf("# %d\n",i)
#define pill pair<int,int>
const LL mod = 998244353;
const int N = 200005;

LL a[N];
LL c[N],cc[N];

void add(LL* tr,int pos,LL v,int n){
    while(pos<=n)tr[pos]+=v,pos+=pos&-pos;
}

LL query(LL* tr,int pos){
    LL ans=0;
    while(pos)ans+=tr[pos],pos-=pos&-pos;
    return ans;
}

int main(){
    int n;scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%lld",a+i);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)add(c,i,a[i]-a[i-1],n),add(cc,i,(i-1)*(a[i]-a[i-1]),n);

    int q;scanf("%d",&q);
    while(q--){
        int op,l,r;scanf("%d%d%d",&op,&l,&r);
        if(op==1){
            LL v;
            scanf("%lld",&v);
            add(c,l,v,n);
            add(c,r+1,-v,n);
            add(cc,l,(l-1)*v,n);
            add(cc,r+1,-r*v,n);
        }
        else{
            printf("%lld\n",r*query(c,r)-query(cc,r)-((l-1)*query(c,l-1)-query(cc,l-1)));
        }
    }
}