单点更新 没啥好说的
区间更新的时候我们只能对前缀和建树 那么我们建树呢?运用差分delta[i]=a[i]-a[i-1]那么delta的合不就是a[i]了吗 单点查询不就做到了吗 对这样建立的一棵树 我们只需要 让s后面+val,t+1后面-val 代表a[s]-a[s-1]多了val a[t+1]-a[t]少了val
板子
#include <iostream> using namespace std; const int MAX_N = 10010; int C[MAX_N]; int n; int lowbit(int x){ return x&(-x); } int getsum(int x){ int res = 0; for(;x;x-=lowbit(x)){ res+=C[x]; } return res; } void change(int x,int c){ for(;x<=n;x+=x&(-x)){ C[x]+=c; } } int main() { cin >> n; return 0; }
这是单点和区间更新 对单点查询共用的板子
树状数组天生用来动态维护数组前缀和,其特点是每次更新一个元素的值,查询只能查数组的前缀和,
但这个题目求的是某一区间的数组和,而且要支持批量更新某一区间内元素的值,怎么办呢?实际上,
还是可以把问题转化为求数组的前缀和。
那么对区间更新区间查询 容易推出为两个前缀和相减 sum[t]-sum[s-1]就是我们要求的
首先,看更新操作update(s, t, d)把区间A[s]...A[t]都增加d,我们引入一个数组delta[i],表示
A[i]...A[n]的共同增量,n是数组的大小。那么update操作可以转化为:
1)令delta[s] = delta[s] + d,表示将A[s]...A[n]同时增加d,但这样A[t+1]...A[n]就多加了d,所以
2)再令delta[t+1] = delta[t+1] - d,表示将A[t+1]...A[n]同时减d
然后来看查询操作query(s, t),求A[s]...A[t]的区间和,转化为求前缀和,设sum[i] = A[1]+...+A[i],则
A[s]+...+A[t] = sum[t] - sum[s-1],
那么前缀和sum[x]又如何求呢?它由两部分组成,一是数组的原始和,二是该区间内的累计增量和, 把数组A的原始
值保存在数组org中,并且delta[i]对sum[x]的贡献值为delta[i]*(x+1-i),那么
sum[x] = org[1]+...+org[x] + delta[1]*x + delta[2]*(x-1) + delta[3]*(x-2)+...+delta[x]*1
= org[1]+...+org[x] + segma(delta[i]*(x+1-i))
= segma(org[i]) + (x+1)*segma(delta[i]) - segma(delta[i]*i),1 <= i <= x
这其实就是三个数组org[i], delta[i]和delta[i]*i的前缀和,org[i]的前缀和保持不变,事先就可以求出来,delta[i]和
delta[i]*i的前缀和是不断变化的,可以用两个树状数组来维护。
板子
#define LL __int64 LL a[maxn], b[maxn], c[maxn], sum[maxn], n; void Add(LL a[], LL x, LL d){ for(;x<=n;x+=x&(-x)) a[x] += d; } LL Sum(LL a[], LL x){ LL sum = 0; for(;x;x-=x&(-x)) sum += a[x]; return sum; } int main() { sum[0] = 0; for (int i=1; i<=n; ++i) sum[i] = sum[i-1] + a[i]; while(查询){ scanf("%I64d%I64d", &s, &t); LL sum_a = sum[t] + (t+1)*Sum(b, t) - Sum(c, t); LL sum_b = sum[s-1] + s*Sum(b, s-1) - Sum(c, s-1); printf("%I64d\n", sum_a-sum_b); } else //change { scanf("%I64d%I64d%I64d", &s, &t, &val); Add(b, s, val); Add(b, t+1, -val); Add(c, s, s*val); Add(c, t+1, -val*(t+1)); } return 0; }