今天肖老师给大家讲解高考数学试题不等关系与不等式,分为四大分为讲解,比较两个数(式)的大小、不等式的性质、一元二次不等式恒成立问题、特值法判断不等式,习题+讲解步骤。
一、比较两个数(式)的大小
(2016·高考浙江卷节选)设函数f(x)=x3+1+x1,x∈[0,1].证明:f(x)≥1-x+x2.
(2)若a=3ln 3,b=2ln 2,比较a与b的大小.
二、不等式的性质
(1)设a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
(2)若a>0>b>-a,c<d<0,则下列结论:ad>bc;da+cb<0;a-c>b-d;a(d-c)>b(d-c)中成立的个数是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
规律方法:
(1)判断不等式命题真假的方法
判断不等式是否成立,需要逐一给出推理判断或反例说明.常用的推理判断需要利用不等式性质.
在判断一个关于不等式的命题真假时,先把判断的命题和不等式性质联系起来考虑,找到与命题相近的性质,并应用性质判断命题真假.
(2)充要条件的判断方法
利用两命题间的关系,看p能否推出q,再看q能否推出p,充分利用不等式性质或特值求解.
三、一元二次不等式恒成立问题
一元二次不等式恒成立问题是每年高考的热点,题型多为选择题和填空题,难度为中档题.
高考对一元二次不等式恒成立问题的考查有以下三个命题角度:
(1)形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)确定参数的范围;
(2)形如f(x)≥0(x∈[a,b])确定参数范围;
(3)形如f(x)≥0(参数m∈[a,b])确定x的范围.(1)若不等式mx2+2mx-4<2x2+4x对任意x都成立,则实数m的取值范围是( )
A.(-2,2] B.(-2,2)
C.(-∞,-2)∪[2,+∞) D.(-∞,2]
(2)不等式a2+8b2≥λb(a+b)对于任意的a,b∈R恒成立,则实数λ的取值范围为________.
不等式恒成立问题的求解方法
(1)形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)的不等式确定参数的范围时,结合一元二次方程,利用判别式来求解.
(2)形如f(x)≥0(x∈[a,b])的不等式确定参数范围时,要根据函数的单调性,求其最小值,让最小值大于等于0,从而求参数的范围.
(3)形如f(x)≥0(参数m∈[a,b])的不等式确定x的范围,要注意变换主元,一般地,知道谁的范围,就选谁当主元,求谁的范围,谁就是参数.
角度一 形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)确定
1. 已知不等式mx2-2x-m+1<0,是否存在实数m对所有的实数x,不等式恒成立?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.
角度二 形如f(x)≥0(x∈[a,b])确定参数范围
已知函数f(x)=-x2+ax+b2-b+1(a∈R,b∈R),对任意实数x都有f(1-x)=f(1+x)成立,若当x∈[-1,1]时,f(x)>0恒成立,则b的取值范围是( )
A.(-1,0)
B.(2,+∞)
C.(-∞,-1)∪(2,+∞)
D.不能确定
角度三 形如f(x)≥0(参数m∈[a,b])确定x的范围
对任意m∈[-1,1],函数f(x)=x2+(m-4)x+4-2m的值恒大于零,求x的取值范围.
四、特值法判断不等式
若a>b>0,c<d<0,则一定有( )
A.da>cb B.da<cb
C.ca>db D.ca<db
方法归纳:本题给出三种不同的方法,法一、法二是利用不等式性质变形判断,易出错,而法三采用特值法验证,简化了过程,提高了准确率.
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