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不等式的关系
1-均值&不等式
1.1 算数均值的定义
设算术均值为\(A_n\)，定义为：
\[ A_n=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i \]
这是最为常见的均值，平均长度、平均外径、平均时长都是用此来衡量。
1.2 几何均值的定义
设几何均值为\(G_n\)，定义为：
\[ G_n=\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}=\sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n}x_i} \]
1.3 调和均值定义
设调和均值为\(H_n\)，定义为：
\[ H_n=\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}+}=\frac{n}{\sum_{i=1}^n\frac{1}{x_i}} \]
1-4 平方均值的定义
设平方均值为\(Q_n\)，定义为：
\[ Q_n=\sqrt[2]{\frac{x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2}{n}}=\sqrt[2]{\frac{\sum_{i=1}^nx_i^2}{n}} \]
1-5 排序不等式
设\(a1\geq a_2\geq\dots\geq a_n，b_1\geq b_2\geq\dots b_n\)，则有不等关系如下：
\[ \sum_{i=1}^{n}a_ib_i\geq\sum_{k=1}^na_{i_k}b_{j_k}\geq a_nb_1+a_{n-1}b_2+\dots+a_1b_n \]
设\(m<n,a_m\leq a_n，b_{j_m}\geq b_{j_n}，j_n\neq n\)，设\(j_n=m，\)交换\(b_{j_n}和b_{j_m}\)
\[ \begin{align} S-S_1=&a_mb_{j_m}+a_nb_{j_n}-a_mb_{j_n}+a_nb_{j_m}\\ =&a_m(b_{j_m}-b_{j_n})+a_n(b_{j_n}-b_{j_m})\\ =&(a_m-a_n)(b_{j_m}-b_{j_n})\\ \leq&0\\ 即:交换后\geq&交换前 \end{align} \]
故最多经过\(n-1\)次交换，可得到
\[ S_{max}=\sum_{i=1}^{n}a_ib_i\\ S_{min}=a_nb_1+a_{n-1}b_2+\dots+a_1b_n\\ 即：顺序结合\geq乱序结合\geq逆序结合 \]
1.6 Chebyshev 不等式
由排序不等式：
\[ n\sum_{i=1}^{n}a_ib_i\geq(\sum_{i=1}^na_i)(\sum_{i=1}^nb_i)\geq n(a_nb_1+a_{n-1}b_2+\dots+a_1b_n) \]
于是得到切比舍夫不等式：
\[ \frac{\sum_{i=1}^{n}a_ib_i}{n}\geq(\frac{\sum_{i=1}^na_i}{n})(\frac{\sum_{i=1}^nb_i}{n})\geq \frac{(a_nb_1+a_{n-1}b_2+\dots+a_1b_n)}{n} \]
2- 不等关系大小证明
2.1 由Chebyshev不等式证明平方均值大于等于算术均值
设\(a_i=b_i\)，利用Chebyshev不等式：
\[ \frac{\sum_{i=1}^na_i^2}{n}\geq(\frac{\sum_{i=1}^na_i}{n})^2 \]
则有\(Q_n^2\geq A_n^2\)，即平方均值大于算术均值。
2.2 利用排序不等式证明算术均值大于等于几何均值
设
\[ G_n=\sqrt[n]{\prod_{i=1}^na_i},\ b_i=\frac{a_i}{G_n},(i=1,2,\dots n)\\ 故b_1\dots b_n=1,取x_i>0,使得: b_i=\frac{x_i}{x_{i+1}},..b_n=\frac{x_n}{x_1} \]
由排序不等式知：
\[ \begin{align} \sum_{i=1}^{n}b_i &=\frac{x_1}{x_2}+\cdots+\frac{x_n}{x_1}\\ &\geq \sum_{i=1}^{b}x_i\frac{1}{x_i}\\ &=n\\ \therefore \sum_{i=1}^{n}\frac{a_i}{G_n}&\geq n，即\ \frac{\sum_{i=1}^na_i}{n}\geq G_n \end{align} \]
即\(A_n\geq G_n\)
2.3 利用算术几何均值不等式证明几何均值大于调和均值
\[ 由\frac{\sum_{i=1}^n\frac{1}{a_i}}{n}\geq\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n\frac{1}{a_i}} \]
两边同取倒数，得到：
\[ \sqrt[n]{a_1\dots a_n}\geq\frac{n}{\sum_{i=1}^n\frac{1}{a_i}} \]
即\(G_n\geq H_n\)
综上所述，我们有：
\[ Q_n\geq A_n\geq G_n\geq H_n \]