1.微积分第一基本定理
注释:
如果
F′(x)=f(x),则
∫abf(x)dx=F(a)−F(b)=F(x)∣ab
Ex:
F(x)=3x3
F′(x)=x2=f(x),∫abf(x)dx=F(a)−F(b)=3b3−3a3
当a=0时,∫abx2dx=3x3∣0b=3b3
Ex:
求
sinx函数与x轴的阴影面积。(0−>π)
∫0πsinxdx=(−cosπ)∣0π=1+1=2
2.定积分的几何意义:
x轴上方面积
−x轴下方面积。
3.性质
-
∫ab(f(x)+g(x))dx=∫abf(x)dx+∫abg(x)dx
-
∫abCf(x)dx=C∫abf(x)dx
-
∫abf(x)dx+∫bcf(x)dx=∫acf(x)dx
-
∫aaf(x)dx=0
-
∫abf(x)dx=−∫baf(x)dx
- 积分估计:
如果
f(x)>g(x),则
∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx(a<b)
Ex:
ex≥1,x≥0.
∫abexdx≥∫ab1dx
eb−1≥b
eb≥1+b
Ex:
ex≥1+x,x≥0
∫0bexdx≥∫0b(1+x)dx
eb−1≥b+2b2
eb≥b+1+2b2
∫u1u2g(u)=∫x1x2g(u(x))u′(x)dx
Ex:
∫12(x3+2)5x2dx
令
u=x2+2,du=3x2
原式
=∫310u531du
=181u6∣310=18106−1836
Wanning:
∫−11x2dx≠=∫11u2u
1du=0u=x2,du=2xdx.dx=2xdu
u=x2,u′(x)=2x{>0,<0,(x>0)(x<0)