1.三角函数的积分以及三角替换
三角学常用函数:
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sin2Θ+cos2Θ=1
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cos(2Θ)=cos2Θ−sin2Θ
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sin(2Θ)=2sinΘcosΘ
半角公式:
cos(2Θ)=cos2Θ−sin2Θ=cos2Θ−(1−cos2Θ)=2cos2(2Θ)−1
可以得知:
cos2Θ=21+cos(2Θ)sin2Θ=21−cos(2Θ)dsinx=(cosx)dx⇒∫cosxdx=sinx+Cdcosx=(−sinx)dx⇒∫sinxdx=−cosx+C
Ex:
∫sinn(x)cosm(x)dx(m,n=0,1,2.....)m,n至少有一个奇数.
(1)
m=1
令
u=sinx,则:
∫sinn(x)cosxdx=∫undx=∫undu=n+1un+1+C=n+1(sinx)n+1+C
(2)
n=3,m=2
∫sin3xcos2xdx=∫(1−cos2x)sinxcos2xdx=∫(cos2x−cos4x)sinxdx令u=cosx,du=−sinxdx=∫(u2−u4)(−du)=51u5−31u3+C=51(cosx)5−31(cosx)3+C
(3)
n=3,m=0
∫sin3xdx=∫(1−cos2x)sinxdx令u=cosx,du=−sinxdx=∫(1−u2)x(−du)=31u3−u+C=31(cosx)3−cosx+C
半角公式的使用:
∫cos2xdx=∫21+cos(2x)dx=21x+4sin(2x)+C
Ex:
∫sin2cos2dx=∫(21−cos(2x))(21+cos(2x))dx=∫41−cos2(2x)dx=∫(41−4∗21+cos(4x))dx=∫(81−8cos4x)dx=81x−8sin4x+C
Ex
sin2xcos2x=(sinxcosx)2=(2sin(2x))2=4sin2(2x)=41(21−cos(4x))
三角替换:
∫a2−y2
dy=∫(acosΘ)(acosΘdΘ)=a2∫cos2ΘdΘ=a2(2Θ+4sin(2Θ))+C