传送门

Problem

给出一个有向无环图，起点为 $1$ 终点为 $n$，每条边都有一个长度，并且从起点出发能够到达所有的点，所有的点也都能够到达终点。绿豆蛙从起点出发，走向终点。

到达每一个顶点时，如果有 $k$ 条离开该点的道路，绿豆蛙可以选择任意一条道路离开，并且走向每条路的概率为 $\frac1 k$。

求出从 $1$ 走到 $n$ 的所经过的路径总长度期望是多少？

$n\le100000$，边数 $m\le 2\times n$。

Solution

期望概率DP简单题。

我们用 $f_i$ 表示从 $i$ 到 $n$ 经过路径总长度的期望值。

那么显然， $f_n=0$。

对于其他的节点 $x$，假设有 $k$ 条出边，分别到达 $y_1,y_2,...,y_k$，边长分别为 $w_1,w_2,...,w_n$，那么有：

$f_x=\frac 1 k\sum _{i=1}^k (f_{y_i}+w_i)$

那么我们在这张图上的反图上跑拓扑排序，在拓扑排序的过程中按照公式计算 $f_x$ 就行了。

最后的答案就是 $f_1$。

Code

#include<stack>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define N 500005
using namespace std;
int n,m,t;
int v[N],w[N],nxt[N];
int first[N],in[N],probablity[N];
double f[N];
void add(int x,int y,int z)
{
	nxt[++t]=first[x];
	first[x]=t,v[t]=y,w[t]=z;
}
stack<int>stk;
void Topology()
{
	int x,i;
	for(i=1;i<=n;++i)
	  if(!in[i])  stk.push(i);
	while(!stk.empty())
	{
		x=stk.top();stk.pop();
		for(i=first[x];i;i=nxt[i])
		{
			in[v[i]]--;
			f[v[i]]+=1.0/probablity[v[i]]*(f[x]+w[i]);
			if(!in[v[i]])  stk.push(v[i]);
		}
	}
}
int main()
{
	int x,y,z,i;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(i=1;i<=m;++i)
	{
		scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
		add(y,x,z),in[x]++,probablity[x]=in[x];
	}
	f[n]=0,Topology();
	printf("%.2lf",f[1]);
	return 0;
}