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Description
给出一个有向无环的连通图,起点为1终点为N,每条边都有一个长度。绿豆蛙从起点出发,走向终点。
到达每一个顶点时,如果有K条离开该点的道路,绿豆蛙可以选择任意一条道路离开该点,并且走向每条路的概率为 1/K 。
现在绿豆蛙想知道,从起点走到终点的所经过的路径总长度期望是多少?
题解
我们知道期望是可以直接转移的,若f[x]表示当前状态,f[y]表示接下来的状态,那么一定可以转移为:f[y]=f[x]+概率*权值。
对于这一道题,如果我们选择正着推,那么我们需要给初始的起点概率赋值为1,再将这一个1不断分解,得到最后的概率。
当然我们也可以选择不这么做,选择逆推的做法来进行;这样的话我们不用对1这一个数进行分解,因为最后一个点概率一定为0;因此我们直接累加概率,再直接输出f[1]即可。由于起点的概率为1,那么我们只需要输出f[1]即可。
在许多期望dp中逆推是一个很常见的技巧;不需要累加初始值,最后也不用乘上概率,十分方便。
代码如下:
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m;
int P[200000];
int in[200000];
double dis[200000];
vector< pair<int,int> >a[200000];
queue<int>q;
int main(void)
{
freopen("frog.in","r",stdin);
freopen("frog.out","w",stdout);
cin>>n>>m;
for (int i=1,x,y,v;i<=m;++i)
{
scanf("%d %d %d",&x,&y,&v);
a[y].push_back(make_pair(x,v));
in[x] ++;
P[x] ++;
}
q.push(n);
while (q.size())
{
int x = q.front();
q.pop();
for (int i=0;i<a[x].size();++i)
{
int y = a[x][i].first;
int v = a[x][i].second;
dis[y] += (dis[x]+v)/P[y];
in[y] --;
if (!in[y]) q.push(y);
}
}
printf("%.2lf",dis[1]);
return 0;
}