乘法逆元

1.费马小定理

如果 $ a,p $ 互质，那么 $ a^{p-1} ≡ 1(mod p) $
又由逆元方程知 $ ax ≡ 1(mod p) $ ，得到 $ ax≡ a^{p-1}(mod p) $
所以逆元 $ x $ 为 $ a^{p-2}mod p $，快速幂求解即可。

    #include<iostream>
    #include<cstdio>
    #include<cstring>
    #include<algorithm>
    #include<cmath>
    
    using namespace std;
    
    #define LL long long
    
    LL n,p;
    
    inline LL fast_pow(LL a,LL b,LL p) {
        LL ans = 1;
        a %= p;
        while(b) {
            if(b&1) ans = ans * a % p;
            a = a * a % p;
            b >>= 1;
        }
        ans %= p;
        return ans;
    }
    
    int main() {
        scanf("%lld%lld",&n,&p);
        for(int i = 1 ; i <= n ; i++) 
            printf("%lld \n",fast_pow(i,p-2,p));
        return 0;
    }

2.线性求逆元

这个不会证。
不过不会证问题也不大，可以直接当一个结论用。
$ inv[i] = p - \frac{p}{i} * inv[p mod i] mod p$
不过要注意 $ inv[1] = 1,inv[0] = tan90^o = 0 $
$ for $ 循环从2开始，时间复杂度 $ O(n) $ 。

  
  using namespace std;
  
  #define LL long long
  const int N = 3e6 + 10;
  
  LL n,p,inv[N];
  
  int main() {
      scanf("%lld%lld",&n,&p);
      inv[1] = 1;inv[0] = 0;
      for(int i = 2; i <= n ; i++) 
          inv[i] = p - (p / i) * inv[p % i] % p;
      for(int i = 1 ; i <= n ; i++)
          printf("%lld \n",inv[i]);
      return 0;
  }