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Description
给定一个n个点m条边的连通图,保证没有自环和重边。对于每条边求出,在其他边权值不变的情况下,它能取的最大权值,使得这条边在连通图的所有最小生成树上。假如最大权值为无限大,则输出-1。
Input
第一行两个整数n,m,表示n个点m条边
接下来m行,每行3个整数x,y,z,表示节点x和节点y之间有一条长z的边
Output
输出一行m个整数,表示每条边的答案
Solution
一道关于最小生成树和倍增的好题。
首先要知道最小生成树是什么及其求法。
先求一遍最小生成树,得到所有最小生成树的边。
对于每一条边 x:
-
若x是最小生成树的边,那么x并不用更新自身,且也无法对非树边造成贡献。
(先不用想为什么,下面会解释) -
若x是非树边,那么需要做两个操作:
-
利用倍增来求得 该点所在环的 是树边的边 的边权最大值maxs,若要使得x必在最小生成树上,即要使x的权值小于环上最大边权,易知 。
此时若x是树边,因为已经在树上,不用更新。
-
做完1操作还不够,我们还要考虑该边对其他边答案的贡献:
若x的边权小于另一条边y的边权,为什么要选择y而不选择x呢?
所以对于x所在环上的所有y有 。这里有一个优化:
把边按边权从小到大排序,若某条边已经被更新,再更新就是多余的。
所以我们可以使用并查集的路径压缩思想,跳过中间已被更新的边。若x是树边,那么应对非树边没有任何贡献,因为他们不是竞争关系而是替换关系。
Code
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,cnt=0;
int head[200010],ans[200010];
int fa[200010],dep[200010],id[200010];
int f[200010][20],maxn[200010][20];
bool vis[200010];
struct data{
int x,y,dis,id;
bool operator <(const data &a)const{
return dis<a.dis;
}
}a[200010];
struct edge{
int x,dis,nxt,id;
}e[400010];
inline void add(int x,int y,int z,int id){
e[++cnt].x=y;
e[cnt].dis=z;
e[cnt].id=id;
e[cnt].nxt=head[x];
head[x]=cnt;
}
int find(int x){
if(fa[x]==x) return fa[x];
return fa[x]=find(fa[x]);
}
void build(){
sort(a+1,a+m+1);
for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
for(int i=1;i<=m;i++){
int x=a[i].x,y=a[i].y;
int fx=find(x),fy=find(y);
if(fx!=fy){
fa[fy]=fx;
vis[a[i].id]=true;
add(x,y,a[i].dis,a[i].id);
add(y,x,a[i].dis,a[i].id);
}
}
}
void dfs(int x){
for(int i=1;i<=18;i++){
f[x][i]=f[f[x][i-1]][i-1];
maxn[x][i]=max(maxn[x][i-1],maxn[f[x][i-1]][i-1]);
}
for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
if(e[i].x!=f[x][0]){
f[e[i].x][0]=x;
id[e[i].x]=e[i].id;
dep[e[i].x]=dep[x]+1;
maxn[e[i].x][0]=e[i].dis;
dfs(e[i].x);
}
}
void solve(int x,int y,int dis){
x=find(x);
while(dep[x]>dep[y]){
ans[id[x]]=min(ans[id[x]],dis-1);
int k=find(f[x][0]);
fa[x]=k,x=find(x);//路径压缩
}
}
int get(int x,int y,int &lca){
int ans=0;
if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
for(int i=18;i>=0;i--)//倍增求maxs
if(dep[f[x][i]]>=dep[y]){
ans=max(ans,maxn[x][i]);
x=f[x][i];
}
if(x==y){
lca=x;
return ans;
}
for(int i=18;i>=0;i--){
if(f[x][i]!=f[y][i]){
ans=max(ans,maxn[x][i]);
ans=max(ans,maxn[y][i]);
x=f[x][i],y=f[y][i];
}
}
lca=f[x][0];
return max(ans,max(maxn[x][0],maxn[y][0]));
}
inline int read(){
char c=getchar(); int x=0,f=1;
while(!isdigit(c) && c!='-') c=getchar();
if(c=='-') { f=-1; c=getchar(); }
while(isdigit(c)) { x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0'; c=getchar(); }
return x*f;
}
int main(){
n=read(),m=read();
for(int i=1;i<=m;i++){
a[i].x=read(),a[i].y=read(),a[i].dis=read();
ans[i]=2e9; a[i].id=i;
}
build(),dfs(1);
for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
for(int i=1;i<=m;i++)
if(!vis[a[i].id]){//即非树边
int x=a[i].x,y=a[i].y,z;
ans[a[i].id]=get(x,y,z)-1;
solve(x,z,a[i].dis); //这里将环分割成x~lca和y~lca两部分。
solve(y,z,a[i].dis);
}
for(int i=1;i<=m;i++){
if(ans[i]==2e9) printf("-1 ");
else printf("%d ",ans[i]);
}
}