3.操作臂逆运动学

上一节讲了操作臂的正运动学，回顾一下正运动学问题，主要是已知操作臂的关节矢量，计算工具坐标系的位置和姿态。即：

$q\rightarrow _{n}^{0}\textrm{T}$

本节主要讲一下操作臂的逆运动学问题：已知工具坐标系相对于操作臂基座坐标系的期望位置和姿态，计算对应的关节矢量。即：

$_{n}^{0}\textrm{T}\rightarrow {q}$

其中关节矢量含有各关节角度（转动关节）或位移（移动关节）。逆运动学主要解决了：根据需要的空间位置（轨线），计算可操控的关节变量的问题，使得对操作臂实现运动控制成为可能。

3.1 操作臂末端执行器的位姿可达性

操作臂的末端执行器能够到达之处是工作空间的范围，

目标点的可到达性：

1.位置可达：操作臂末端执行器的坐标系原点可以到达的目标点，并不考虑在该点处末端执行器坐标系的方向。
2.位姿可达：操作臂末端执行器的坐标系原点以指定方向到达的目标点。

可见，若逆解存在，则被指定的目标点必须是位置可达目标点；而只要目标点满足位姿可达，逆解一定存在。其中位置可达是3维空间可达，位姿可达是6维空间可达。

特例：喷漆机械臂一般5个自由度，需要实现除喷头绕自身旋转外的5维目标位姿可达。在可达位姿，5个关节变量的
逆解存在，实现喷头对准控制。操作臂灵巧性是操作臂从各个方向到达可达位置（或位姿）的能力。

操作臂工作空间：操作臂末端执行器位置（或位姿）所能到达的范围，称为工作空间。

灵巧工作空间：操作臂的末端执行器能够从各个方向到达的空间位置（或位姿）区域。

可达工作空间：操作臂至少从一个方向上可以达到的工作空间。

举个例子：

两连杆平面操作臂的工作空间：

1）如 $l_{1}=l_{2}$ ，位置可达的工作空间是半径为 $2l_{1}$ 的圆，位姿可达的工作空间是原点。

2) 灵巧工作空间，如指考虑位置移动的灵巧性，和位置可达，灵巧工作空间是 $2l_{1}$ 圆区域的内点（不含圆周的开区域）。

3) 如 $l_{1}>l_{2}$ ，以上提及的 $2l_{1}$ 为半径的圆改为 $l_{1}+l_{2}$ 以为大圆半径， $l_{1}-l_{2}$ 为小圆半径的圆环，位姿可达的工作空间是空集。

4) 可达工作空间的维数不超过操作臂的自由度。

3.2 操作臂逆运动学求解方法

由于是非线性方程组，没有通用的求解方法，只能针对特定的操作臂结构推导。以下针对一类常见的操作臂，学习一种相对比较一般的求解逆运动学的方法。

例1：

顺序每次变换均参考前一个坐标系，因此也采用相对组合变换（后变换右乘）

Z-Y-Z欧拉角的逆解

例2：

前两个关节控制坐标系{3}的原点位置，第3轴进行方向控制。先建立辅助坐标系{A}，其在时与{3}重合

按D-H参数表

总之，求解操作臂逆运动学并没有统一的规律，要针对不同的问题进行分析，结合约束条件，得到合适的关节矢量。