关于三门问题（蒙提霍尔问题）的一些想法

这篇博客是有一些日记性质的。记录本蒟蒻在2019.10.26那一天本机房爆发的一场神仙打架沙雕讨论。

三门问题

这个事情是这样的：

从前有一个内幕满满的有奖竞猜...

给了你三扇神秘的门...告诉你有一扇门后面是辆劳斯莱斯，开到这扇门就可以得到它。剩下两扇门后门是两只老公山羊，开到就会被拱死。（其实没有那么严重，开到你就出局了）

现在让你先选一扇不要打开。

在你选完一扇之后，主持人通过监控打开了一扇门（所以说这个节目内幕），这扇门后门是一只老公山羊（主持人开到的山羊不会把任何人拱死，这个世界就是这么神奇）。

那么现在已经剩下了两扇。

这时，主持人会问你：现在你还有一次机会，换还是不换？

故事的结局

如果按直觉选择的话，可能有人会选换，这种人一般都是年轻人，悍不畏死的那种。

当然也肯定会有人选不换啦，这种人吧偏老年人，总是固步自封不求进取。

好吧大家看出来了浓浓的感情色彩...

因为我的直觉是换。。。这真的是纯直觉。（哈哈哈哈哈年轻人）

仔细思考一下

思考一

想一下，我们在什么也不知道的时候进行选择，选中车的几率是\(\frac{1}{3}\)。现在我们相当于把这仨门分成了两组。第一组：选过的（只有一扇门），第二组：没选的（两扇门）。

很显然地，这辆车在第一组的几率是\(\frac{1}{3}\)，在第二组的几率是\(\frac{2}{3}\)。

那么现在带挂的主持人帮你排除了第二组中的一个选项，那么第二组还剩下一个元素（一扇门），而车在第二组的几率还是\(\frac{2}{3}\)，所以，车在第二组剩下的那扇门后面的几率是\(\frac{2}{3}\)。

所以显然换要比不换中奖几率更大一些。

思考二

想一下，我们在什么也不知道的情况下进行选择，选中车的几率还是\(\frac{1}{3}\)。但是主持人把可疑选项排除了一个。所以车在剩下的那扇门中的几率变成了\(\frac{1}{2}\)。

因为二分之一肯定比三分之一大，所以换要比不换的几率更大一些。

思考三

想一下，我们在什么也不知道的情况下进行选择，选中车的几率是\(\frac{1}{3}\)。但是主持人排除了一个疑难选项之后让你重新选择。这个时候相当于是在两扇门之中选一个有车的，那么选手里那扇和剩下那扇的几率应该是相等的。都是\(\frac{1}{2}\)。

所以换不换都一样。

你的思路是哪一种呢？

开始打架

可以看出，思考二和思考三是一开始是一派的思路，但是却得出了不同的结果...所以他们俩先开始掐

思考二和思考三开始掐架

• 思考三支持者：当主持人开完一扇之后，询问换还是不换，其实就是在让你在剩下的两扇门（你手里的和主持人剩下的）中任选一扇。我们不如假设一开始就没有那扇被主持人排除的门，一开始就是让你从两扇门中选，那么概率就是\(\frac{1}{2}\)。

• 思考二支持者：不能混为一谈。一开始让我们选，我们并没有得到主持人的排除。所以在一开始的我们的眼中，所有的门后面都可能有车。所以一开始的几率就是\(\frac{1}{3}\)，这个概率值在后面是不变的。后来主持人排除了一项之后，那个剩下的门有车的概率变成了\(\frac{1}{2}\)，而参赛者手里的那扇门在参赛者看来还是\(\frac{1}{3}\)的正确率。

而思考二和思考三的分歧是结果上的，但是思考一比较清奇，它的思路得出了一个完全不同的答案...所以思考一又和其他人开始掐...

思考一和其他人开始掐架

• 思考一支持者：我们一开始就应该把车在不在我们这个门的概率确定下来，在我们这个门的概率就是\(\frac{1}{3}\)，不在我们这个门的概率就是\(\frac{2}{3}\)。那么主持人排除了一个选项，就相当于就告诉我们，剩下的那扇门（不在我们这个门）的概率就应该是\(\frac{2}{3}\)。

• 思考一反对者：我们的想法是随着游戏的进程而改变的。一开始我们的确是这么认为：在我们这个门的概率是\(\frac{1}{3}\)，但是在主持人排除一扇门之后，这个几率就显然会变化了。变成了是\(\frac{1}{2}\)，那么在这个时候我们决策就应该按这个时候的思路弄。

这个时候世界又陷入了混乱，大家都开始对自己想法产生了怀疑...假如你参与了这两场讨论，你分别会支持这两场讨论中谁的观点呢？

我的分析

这个问题并不算一个悖论。我们想法的差距仅仅是直觉与理性分析得出了不同的结果。

刚看到这个问题的时候，介绍是：这个问题因理性分析与直觉相悖而闻名世界。我感到奇怪：我的直觉和我的理性分析做出的选择是一样的啊？

在认真倾听大佬们的思路后，我得出了我独有的分析：

关于思考一

如果你一开始认同思考一的思路，那么你的逻辑推理能力很强。在数学和逻辑学中，这种判断方式叫做：分组决策。在我们做多阶段决策问题的时候，把要判断的事情分成几组，分别进行讨论，显然是一个清晰和优秀的思路。

关于思考二

如果你一开始认同思考二的思路，那么你的思路应该是线性的。比较遗憾的是，这种逻辑推断并不符合常规逻辑推理的思路。这种思路也往往会得出一种错误的答案。因为你的思路是”一条道跑到黑“的，是”无回溯思考“的，这种思路可能会导致少想很多种情况你的数学成绩好像不是很好？但是从概率上来分析，这次你的思路没有什么问题，你的判断方式叫做：线性决策。这种决策方式适用于每一个决策对后续决策没有影响的情况，而显然，这种多阶段决策并不适用这种思路。所以，思考二得出的答案让我不敢苟同。

关于思考三

如果你一开始认同思考三的思路，那么你的思维还是比较有条理的。在数学和逻辑学中，这种判断方式叫做：分阶段决策。因为这个问题是一个多阶段决策问题，所以这种思路显然也是没有问题的。你知道什么时候应该考虑什么问题，对这个问题有全面而理性的分析。