剪绳子

        给定一根长度为n的绳子，请把绳子剪成m段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为k[0],k[1],…,k[m]。请问k[0]* k[1] * … *k[m]可能的最大乘积是多少？

举例

        例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

分析

        解决这个问题有两个不同的方法解决这个问题。第一种是动态规划，需要O(n2)时间和O(n)空间。第二种是贪婪算法，只需要O(1)时间和空间。

一、动态规划

        如果面试题是求一个问题的最优解（通常是求最大值和最小值），而且该问题能够分解成若干个子问题，并且子问题之间还有重叠的更小的子问题，就可以考虑用动态规划来解决这个问题。

function maxProductAfterCutting_solution1(length){
    if(length<2){
        return 0;
    }
    if(length==2){
        return 1;
    }
    if(length==3{
        return 2;
    }
    var products=new Array();
    products[0]=0;
    products[1]=1;
    products[2]=2;
    products[3]=3;
    var max=0;
    for(var i=4;i<=length;i++){
        max=0;
        for(var j=0;j<=Math.floor(i/2);j++){
            var product=products[j]*products[i];
            if(max<product){
                max=product;
            }
            products[i]=max;
        }
    }
    max=products[length];
    detele products;
    return max;
}

        上述代码中，子问题从长度为4的绳子开始最优解存在数组products里面，products[0]=0到products[3]=3分别代表的是长度为0，1，2，3的绳子的长度。当数组中第i个元素表示把长度为i的绳子剪成若干段之后各段长度乘积的最大值，即f(i)。我们注意到代码中的第一个for循环变量i是顺序递增的，这意味着计算顺序是自下而上。因此在求f(i)之前，对于每一个j(0<i<j)而言，f(j)都已经求解出来了，并且结果保存在projects[j]里。为了求解f(i),我们需要求出所有可能的f(j)xf(i-j)并比较得出它们的最大值。这就是代码中第二个for循环的功能。

二、贪婪算法

        贪婪算法和动态规划不一样。当我们应用贪婪算法解决问题的时候，每一步都可以做出一个贪婪的选择，基于这个选择，我们确定能够得到最优解。