题目要求

给你一根长度为n的绳子，请把绳子剪成整数长的m段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为k[0],k[1],…,k[m]。请问k[0]xk[1]x…xk[m]可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

1、动态规划分析求解

首先，我们来了解一下动态规划。一般什么问题使用动态规划来求解呢？
如果该题求一个问题的最优解，而且该问题能够分解成若干个子问题，并且子问题之间还有重叠的更小的子问题。

特点：

1. 整体问题的最优解是依赖各个问题的最优解
2. 把大问题分解成若干个小问题，这些小问题之间还有相互重叠的更小的子问题
3. 从上往下分析问题，从下往上求解问题

接着，利用该动态规划的思想，我们来思考一下该如何剪绳子。

因此，我们知道f(1)=1,f(2)=1,f(3)=2.

我们把子问题的最优解存储在数组products里面。数组中第i个元素表示把长度为i的绳子剪成若干段之后各段长度乘积的最大值，即f(i).
代码实现如下：

int maxproductAfterCutting(int length)
{
	if (length < 2)
		return 0;
	if (length == 2)
		return 1;
	if (length == 3)
		return 2;

	int* products = new int[length + 1];
	products[0] = 0;
	products[1] = 1;
	products[2] = 2;
	products[3] = 3;

	int max = 0;
	for (int i = 4; i <= length; i++)
	{
		max = 0;
		for (int j = 1; j < i / 2; j++)
		{
			int product = products[i] * products[i - j];
			if (max < product)
				max = product;

			products[i] = max;
		}
	}
	max = products[length];
	delete[] products;
	return max;
}

2、贪婪算法求解

贪婪算法的基本思想就是。当我们应用贪婪算法解决问题的时候，每一步都可以做出一个贪婪的选择，基于这个选择，我们确定能够得到最优解。

当n>= 5时，我们尽可能多的剪长度为3的绳子，当剩下的绳子长度为4时，把绳子剪成两段长度为2的绳子。

int maxproductAfterCutting1(int length)
{
	if (length < 2)
		return 0;
	if (length == 2)
		return 1;
	if (length == 3)
		return 2;

	//尽可能多的剪去长度为3的绳子段
	int timeOf3 = length / 3;

	//当绳子最后剩下的长度为4的时候，不能再剪去长度为3的绳子段
	//此时更好的方法就是把绳子剪成长度为2的两段
	if (length - timeOf3 * 3 == 1)
		timeOf3 -= 1;

	int timeOf2 = (length - timeOf3 * 3) / 2;
	return (int)(pow(3, timeOf3)) * (int)(pow(2, timeOf2));
}

那么为什么要选取这种思路呢？
当n>=5的时候，我们可以证明2(n-2) > n 并且3（n-3）>n,也就是说当剩下的绳子长度大于或者等于5的时候，我们就把他剪成长度为3或者2的绳子段。
当n>5时，3(n-3)>=2(n-2) ，因此我们应该尽可能多的剪长度为3的绳子段。