前言
概率期望是\(OI\)数学的一个比较难的考点，凡遇期望蓝题往上，今年CSPS很可能会考，所以在这里做一个小总结。
概率简介
自然界中的现象
自然界中的现象可以分为随机现象和确定性现象。
随机现象：在一定条件下，可能出现多种结果，在试验之前无法得知确切结果，无法预知。
确定性现象：在一定条件下必然会出现的现象。
概率论和数理统计就是研究揭示随机现象统计规律性的一门自然学科。
随机试验的特点
试验可以在相同条件下重复进行。
试验结果多种，且事先知道所有结果。
试验后出现的结果随机，无法控制。
通常用字母\(E\)表示随机事件
事件的概念
基本事件(样本点)： \(\omega\) 进行一次随机试验会出现的结果，也就是试验中不能再分解的结果。
样本空间：\(\Omega\) 全体基本事件的集合。
随机事件：试验的每一个可能结果，是样本空间的子集，也就是若干基本事件组成的集合。
事件及运算
事件发生：某个事件的任意基本事件发生。
必然事件：一定会发生的事件，可以理解成样本空间。
事件发生：如果事件\(A\)发生必然导致事件\(B\)发生，则称事件\(B\)包含\(A\) 也就是\(A\subset B\)。
事件的和：\(A+B\) \(A\)和\(B\)至少有一个发生，记作\(A \cup B\)。
事件的积：\(AB\) \(A\)和\(B\)同时发生，记作\(A \cap B\)。
事件的差：\(A-B\) \(A\)发生而\(B\)不发生，记作\(A-B\)。
互斥事件：\(A\)和\(B\)不同时发生，记作\(AB=\phi\)。
对立事件：\(A\)和\(B\)不同时发生且\(A \cup B=\Omega\)，它们互为逆事件，记作\(A=\bar{B}\)或者\(B=\bar{A}\)。（类似补集）
概率的数学定义
设\(\omega\)为试验\(E\)的样本空间，并且每一个事件\(A_1,A_2...A_i\)都可以用一个实数\(P(A)\)来表示，那么满足：
非负性：\(P(A)>=0\)
正则性：\(P(\Omega)=1\)
可列可加性：\(P(\bigcup_{i=1}^{\infty})=\sum_{i=1}^{\infty}P(A_i)\)
古典概率模型
- 所有可能出现的基本事件有有限个。
- 每个基本事件出现的可能性相等。
几何概率
- 基本事件有无限个。
- 每个基本事件出现的可能性相等。
数学期望
定义
如果\(X\)是一个离散变量，它所有的输出是\(x1,x2..xn\)，每个输出对应的概率是\(p1,p2..pn\)，那么\(X\)的期望是\(E(X)=\sum_{i=1}^{n}x_i*p_i\)。
性质
对于任意随机变量\(X,Y\)和常量\(a,b\)，有\(E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)\)
对于任意随机变量\(X,Y\)独立并且各自有一个已经定义的期望，\(E(XY)=E(X)E(Y)\)。