拉格朗日方程是分析力学中的重要方程，其地位相当于牛顿第二定律之于牛顿力学。

欧拉-拉格朗日方程可以表述为：
设有函数 $\mathbf{y}(x)$和 $f(\mathbf{y},\mathbf{\dot{y}},x)$：
$\mathbf{y}(x)=\left( {{y}_{1}}(x),{{y}_{2}}(x),\ldots ,{{y}_{N}}(x) \right)\tag{1}$

$\mathbf{\dot{y}}(x)=\left( {{{\dot{y}}}_{1}}(x),{{{\dot{y}}}_{2}}(x),\ldots ,{{{\dot{y}}}_{N}}(x) \right)\tag{2}$

$f(\mathbf{y},\mathbf{\dot{y}},x)=f\left( {{y}_{1}}(x),{{y}_{2}}(x),\ldots ,{{y}_{N}}(x),{{{\dot{y}}}_{1}}(x),{{{\dot{y}}}_{2}}(x),\ldots ,{{{\dot{y}}}_{N}}(x),x \right)\tag{3}$

其中 $x$是自变量。
若存在 $\mathbf{y}(x)\in {{\left( {{C}^{1}}[a,b] \right)}^{N}}$ 使泛函
$J(\mathbf{y})=\int_{a}^{b}{f}(\mathbf{y},\overset{.}{\mathop{\mathbf{y}}}\,,x)dx\tag{4}$

取得局部平稳值，则在区间 $(a,b)$ 内对于所有 $i$ ，皆有：
$\frac{d}{dx}\left( \frac{\partial }{\partial {{{\dot{y}}}_{i}}}f(\mathbf{y},\mathbf{\dot{y}},x) \right)-\frac{\partial }{\partial {{y}_{i}}}f(\mathbf{y},\mathbf{\dot{y}},x)=0\tag{5}$

若设独立变量 $x$为时间 $t$，函数 ${{y}_{i}}$为广义坐标 ${{q}_{i}}$ ，泛函 $f(\mathbf{y},\mathbf{\dot{y}},x)$ 替换为拉格朗日量 ，则可得到拉格朗日方程:
$\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}} \right)-\frac{\partial L}{\partial {{q}_{j}}}=0\tag{6}$