拉格朗日方程是分析力学中的重要方程,其地位相当于牛顿第二定律之于牛顿力学。
哈密顿原理可数学表述为:
δ∫t1t2Ldt=0(1)
在等时变分情况下,有:
δq∙=dtd(δq)(2)
δ∫t1t2Ldt=∫t1t2(δL)dt=0(3)
由拉格朗日量定义得,在等时变分情况下有
δL=∂q∙∂Lδq∙+∂q∂Lδq(4)
其中第一项可化为:
∂q∙∂Lδq∙=∂q∙∂Ldtd(δq)=dtd(∂q∙∂L∙δq)−dtd(∂q∙∂L)δq(5)
将(5)代入(4)得:
δL=dtd(∂q∙∂L∙δq)−dtd(∂q∙∂L)δq+∂q∂Lδq(6)
将(6)代入(3)得
(∂q∙∂L∙δq)∣∣t2t1+∫t1t2(−dtd(∂q∙∂L)δq+∂q∂Lδq)dt=0(7)
在
t1,t2处
δq=0,所以(7)变为:
∫t1t2(dtd(∂q∙∂L)δq−∂q∂Lδq)dt=0(8)
即
∫t1t2[(−dtd(∂q∙∂L)+∂q∂L)δq]dt=0(9)
q是独立变量,所以得拉格朗日方程:
dtd(∂q˙j∂L)−∂qj∂L=0(10)