拉格朗日方程是分析力学中的重要方程，其地位相当于牛顿第二定律之于牛顿力学。

达朗贝尔原理由法国物理学家与数学家让•达朗贝尔发现并以其命名。达朗贝尔原理表明：对于任意物理系统，所有惯性力或施加的外力，经过符合约束条件的虚位移，所作的虚功的总合为零。即：
$\delta W=\sum\limits_{i}{\left( {{\mathbf{F}}_{i}}+{{\mathbf{I}}_{i}} \right)}\cdot \delta {{\mathbf{r}}_{i}}=0\tag{1}$
其中 ${{\mathbf{I}}_{i}}$为惯性力， ${{\mathbf{I}}_{i}}=-{{m}_{i}}{{\mathbf{a}}_{i}}$。 ${{\mathbf{F}}_{i}}$为粒子所受外力， $\delta {{\mathbf{r}}_{i}}$为符合系统约束的虚位移。
设粒子 ${{P}_{i}}$的位置 ${{\mathbf{r}}_{i}}$为广义坐标 ${{q}_{1}},{{q}_{2}},\cdots ,{{q}_{n}}$与时间 $t$的函数：
${{\mathbf{r}}_{i}}={{P}_{i}}\left( {{q}_{1}},{{q}_{2}},\cdots ,{{q}_{n}},t \right)\tag{2}$
则虚位移可以表示为：
$\delta {{\mathbf{r}}_{i}}=\sum\limits_{j}{\frac{\partial {{\mathbf{r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}\delta {{q}_{j}}\tag{3}$
粒子的速度 ${{\mathbf{v}}_{i}}={{\mathbf{v}}_{i}}\left( {{q}_{1}},{{q}_{2}},\cdots ,{{q}_{n}},{{{\dot{q}}}_{1}},{{{\dot{q}}}_{2}},\cdots ,{{{\dot{q}}}_{n}},t \right)$ 可表示为：
${{\mathbf{v}}_{i}}=\frac{d{{\mathbf{r}}_{i}}}{dt}=\frac{\partial {{\mathbf{r}}_{i}}}{\partial t}+\sum\limits_{j}{\frac{\partial {{\mathbf{r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}{{\dot{q}}_{j}}\tag{4}$
取速度对于广义速度的偏微分：
$\frac{\partial {{\mathbf{v}}_{i}}}{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}}=\frac{\partial {{\mathbf{r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}\tag{5}$
首先转化方程(1)的加速度项。将方程(3)代入：
$\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}}{{\mathbf{a}}_{i}}\cdot \delta {{\mathbf{r}}_{i}}=\sum\limits_{i,j}{{{m}_{i}}}{{\mathbf{a}}_{i}}\cdot \frac{\partial {{\mathbf{r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}\delta {{q}_{j}}\tag{6}$
应用乘积法则：
$\sum\limits_{i,j}{{{m}_{i}}}{{\mathbf{a}}_{i}}\cdot \frac{\partial {{\mathbf{r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}\delta {{q}_{j}}=\sum\limits_{i,j}{\left( \frac{d}{dt}\left( {{m}_{i}}{{\mathbf{v}}_{i}}\cdot \frac{\partial {{\mathbf{r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}} \right)-{{m}_{i}}{{\mathbf{v}}_{i}}\cdot \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial {{\mathbf{r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}} \right) \right)}\delta {{q}_{j}}\tag{7}$
注意到 $\frac{\partial {{\mathbf{r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}$ 的参数为 ${{q}_{1}},{{q}_{2}},\cdots ,{{q}_{n}},t$，而速度 ${{\mathbf{v}}_{i}}$ 的参数为 ${{q}_{1}},{{q}_{2}},\cdots ,{{q}_{n}},{{\dot{q}}_{1}},{{\dot{q}}_{2}},\cdots ,{{\dot{q}}_{n}},t$ ，所以，
$\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial {{\mathbf{r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}} \right)=\left( \frac{\partial }{\partial t}+\sum\limits_{k}{{{{\dot{q}}}_{k}}}\frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}} \right)\left( \frac{\partial {{\mathbf{r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}} \right)=\frac{{{\partial }^{2}}{{\mathbf{r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}\partial t}+\sum\limits_{k}{\frac{{{\partial }^{2}}{{\mathbf{r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}\partial {{q}_{k}}}}{{\dot{q}}_{k}}\tag{8}$
$\frac{\partial {{\mathbf{v}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}=\frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}\left( \frac{\partial {{\mathbf{r}}_{i}}}{\partial t}+\sum\limits_{k}{\frac{\partial {{\mathbf{r}}_{i}}}{\partial {{q}_{k}}}}{{{\dot{q}}}_{k}} \right)=\frac{{{\partial }^{2}}{{\mathbf{r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}\partial t}+\sum\limits_{k}{\frac{{{\partial }^{2}}{{\mathbf{r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}\partial {{q}_{k}}}}{{\dot{q}}_{k}}\tag{9}$
因此，以下关系式成立：
$\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial {{\mathbf{r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}} \right)=\frac{\partial {{\mathbf{v}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}\tag{10}$
将方程(5)与(10)代入，加速度项成为:
$\sum\limits_{i,j}{{{m}_{i}}}{{\mathbf{a}}_{i}}\cdot \frac{\partial {{\mathbf{r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}\delta {{q}_{j}}=\sum\limits_{i,j}{\left( \frac{d}{dt}\left( {{m}_{i}}{{\mathbf{v}}_{i}}\cdot \frac{\partial {{\mathbf{v}}_{i}}}{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}} \right)-{{m}_{i}}{{\mathbf{v}}_{i}}\cdot \frac{\partial {{\mathbf{v}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}} \right)}\delta {{q}_{j}}\tag{11}$
代入动能表达式：
$T=\sum\limits_{i}{\frac{1}{2}}{{m}_{i}}{{\mathbf{v}}_{i}}\cdot {{\mathbf{v}}_{i}}\tag{12}$
则加速度项与动能的关系为:
$\sum\limits_{i,j}{{{m}_{i}}}{{\mathbf{a}}_{i}}\cdot \frac{\partial {{\mathbf{r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}\delta {{q}_{j}}=\sum\limits_{j}{\left( \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial T}{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}} \right)-\frac{\partial T}{\partial {{q}_{j}}} \right)}\delta {{q}_{j}}\tag{13}$
然后转换方程(1)的外力项代入方程(3)得：
$\sum\limits_{i}{{{\mathbf{F}}_{i}}}\cdot \delta {{\mathbf{r}}_{i}}=\sum\limits_{i,j}{{{\mathbf{F}}_{i}}}\cdot \frac{\partial {{\mathbf{r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}\delta {{q}_{j}}=\sum\limits_{j}{{{\mathcal{F}}_{j}}}\delta {{q}_{j}}\tag{14}$
其中 $\mathcal{F}$是广义力：
${{\mathcal{F}}_{j}}=\sum\limits_{i}{{{\mathbf{F}}_{i}}}\cdot \frac{\partial {{\mathbf{r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}\tag{15}$
将方程(13)与(14)代入方程(1)可得：
$\sum\limits_{j}{\left( \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial T}{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}} \right)-\frac{\partial T}{\partial {{q}_{j}}}-{{\mathcal{F}}_{j}} \right)}\delta {{q}_{j}}=0\tag{16}$
假设所有的广义坐标都相互独立，则所有的广义坐标的虚位移也都相互独立。由于这些虚位移都是任意设定的，只有满足下述方程，才能使方程(16)成立：
$\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial T}{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}} \right)-\frac{\partial T}{\partial {{q}_{j}}}-{{\mathcal{F}}_{j}}=0\tag{17}$
这系统的广义力与广义位势 $V$之间的关系式为:
${{\mathcal{F}}_{j}}=\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial V}{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}} \right)-\frac{\partial V}{\partial {{q}_{j}}}\tag{18}$
代入得：
$\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial (T-V)}{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}} \right)-\frac{\partial (T-V)}{\partial {{q}_{j}}}=0\tag{19}$
定义拉格朗日量 $L$为动能与势能之差，可得拉格朗日方程：
$\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}} \right)-\frac{\partial L}{\partial {{q}_{j}}}=0\tag{20}$