微积分(Calculus I)
微积分(Calculus II)
微积分(Calculus III)
无穷级数(Infinite Series)
常数项级数的概念和性质
定义
(1) 数列
{an}=a1,a2,⋯,an,⋯ 构成的表达式
n=1∑∞an=a1+a2+⋯+an+⋯ 叫做(常数项)无穷级数,简称(常数项)级数。其中第n项
an叫做级数的通项(general term)。
(2) 级数的前n项部分和(partial sum)
Sn=a1+a2+⋯+an
(3) 对于级数
{an},若其部分和数列
{Sn}有极限S,即
n→∞limSn=S,则称级数收敛(convergence),S 称为该级数的和,记为
n=1∑∞an=S,若部分和数列
{Sn}没有极限,则称级数发散(divergence)。
(4) 当级数
{an}收敛,其部分和
{Sn}是级数和S的近似值,他们的差值
rn=Sn−S叫做级数的余项(remainder)。
收敛级数基本性质
性质 1(级数收敛的必要条件)若级数
n=1∑∞an收敛,则有
n→∞liman=0
性质 2 设级数
n=1∑∞an和
n=1∑∞bn分别收敛于
A和B,则级数
n=1∑∞(an±bn)也收敛,且其和为
A±B
性质 3 若级数
n=1∑∞an收敛于
S,则
n=1∑∞kan收敛于
kS
性质 4 增加或减少级数中的有限项不改变原级数的收敛性,即级数的收敛性与前有限项无关
性质 5 设级数
n=1∑∞an收敛,则在不改变级数项前后位置的条件下,任意结合级数的有限项得到新级数
n=1∑∞an′,则新级数也收敛,且和不变.
性质 6又称柯西审敛原理 (Cauchy’s convergence test)
级数n=1∑∞an收敛⟺∀ϵ>0,∃N∈N+,当n>N时,对于∀p∈N+,都有∣an+1+an+1+⋯+an+p∣<ϵ
常数项级数的审敛法
正项级数(series of positive terms):若
an>0,则称级数
n=1∑∞an为正项级数。
正项级数的审敛法:设
n=1∑∞an和n=1∑∞bn为正项级数
定理 1
n=1∑∞an收敛⟺部分和数列{Sn}有界
定理 2 (比较判别法的不等式形式)若
an⩽bn(n=1,2,⋯)则
(1) 当级数
n=1∑∞bn收敛时,级数
n=1∑∞an也收敛
(2) 当级数
n=1∑∞an发散时,级数
n=1∑∞bn也发散
定理 3 (比较判别法的极限形式)若
n→∞limbnan=l(0⩽l⩽+∞),则
(1) 当
0<l<+∞时,级数
n=1∑∞an和
n=1∑∞bn有相同的敛散性
(2) 当
l=0时,如果级数
n=1∑∞bn收敛,那么
n=1∑∞an收敛
(3) 当
l=+∞时,如果级数
n=1∑∞bn发散,那么
n=1∑∞an发散.
定理 4 (比值判别法,达朗贝尔判别法)若
n→∞limanan+1=q,则
(1) 当
0⩽q<1时,级数
n=1∑∞an收敛
(2) 当
q>1时,级数
n=1∑∞an发散
定理 5 (根值判别法,柯西判别法)若
n→∞limnan
=q,则
(1) 当
0⩽q<1时,级数
n=1∑∞an收敛
(2) 当
q>1时,级数
n=1∑∞an发散
定理 6 若正项级数
n=1∑∞∣an∣收敛,则级数
n=1∑∞an收敛,且
∣n=1∑∞an∣⩽n=1∑∞∣an∣
交错级数(alternating series):正负项交错出现的级数
交错级数的审敛法
定理 7 (莱布尼兹判别法)对于交错级数
n=1∑∞(−1)n−1an,若满足
(1)
an⩾an+1(n=1,2,⋯)
(2)
n→∞liman=0
则级数收敛,且其和
S⩽a1,余项的绝对值
rn⩽an+1
绝对收敛和条件收敛:若级数
n=1∑∞∣an∣收敛,则称级数
n=1∑∞an为绝对收敛(absolutely convergent).若级数
n=1∑∞an收敛,而级数
n=1∑∞∣an∣发散,则称级数为条件收敛(conditionally convergent).
定理 8 绝对收敛的级数一定收敛,反之则不然
定理 9 绝对收敛的级数经改变项的位置后构成的新级数也收敛,且与原级数有相同的和(即绝对收敛的级数具有可交换性)
定理 10(绝对收敛级数的乘积)设
n=1∑∞an与
n=1∑∞bn为绝对收敛的级数,他们的和分别为
A和B,则它们的柯西乘积
n=1∑∞(anb1+an−1b2+⋯+a1bn)仍为绝对收敛,且其和为
A⋅B
函数项级数收敛与一致收敛
函数项级数(series of functions)
(1) 定义在区间D上的函数列
{un(x)}=u1(x),u2(x),⋯,un(x),⋯构成的表达式
n=1∑∞un(x)=u1(x)+u2(x)+⋯+un(x)+⋯ 叫做(函数项)无穷级数,简称(函数项)级数。
(2) 对每一个确定的值
x0∈D ,函数项级数
n=1∑∞un(x)成为常数项级数
n=1∑∞un(x0),若常数项级数收敛,则称点
x0为函数项级数的收敛点,收敛点的全体称为收敛域;若常数项级数发散,则称级数点
x0为函数项级数的发散点,发散点的全体称为发散域。
(3) 若
Ω为函数项级数
n=1∑∞un(x)的收敛域,则对每个
x∈Ω,存在惟一的
S(x)=n=1∑∞un(x),
S(x)称为函数项级数的和函数
(4) 函数项级数前项部分和记作
Sn(x),rn(x)=S(x)−Sn(x)为余项,则在收敛域上有
n→∞limSn(x)=S(x)或n→∞limrn(x)=0
一致收敛(uniform convergence)
定义1设函数序列
{un(x)}在收敛域D上逐点收敛于
u(x),如果对于任意
ϵ>0 ,存在只依赖于
ϵ 的正整数N,使得当
n>N时,恒有
∣un(x)−u(x)∣<ϵ,∀x∈D,则称函数序列
{un(x)}在D上一致收敛于函数
u(x)
定义2设函数项级数
n=1∑∞un(x)在I上的和函数为
S(x) ,若其部分和函数序列
{Sn(x)}在I上一致收敛于
S(x),则称函数项级数
n=1∑∞un(x)在I 上一致收敛于和函数
S(x).
定理(魏尔斯特拉斯判别法):如果函数项级数
n=1∑∞un(x)在区间I满足条件:
(1)
∀x∈I,∣un(x)∣⩽Mn(n=1,2,⋯)
(2)正项级数
n=1∑∞Mn收敛
则函数项级数
n=1∑∞un(x)在区间I上一致收敛
函数项级数的基本性质
设函数项级数
n=1∑∞un(x)在I 上一致收敛于和函数
S(x)
定理 1 (连续)
x→xolimS(x)=S(x0)⟺x→xolimn=1∑∞un(x)=n=1∑∞un(x0)
定理 2 (积分)
∫x0xS(x)dx=n=1∑∞∫x0xun(x)dx⟺∫x0xn=1∑∞un(x)dx=n=1∑∞∫x0xun(x)dx
定理 3 (导数)
S′(x)=n=1∑∞un′(x)
幂级数的收敛域与和函数
定义:形如
n=0∑∞an(x−x0)n=a0+a1(x−x0)+⋯+an(x−x0)n+⋯的级数称为幂级数(power series),常数
a0,a1,⋯,an,⋯称为幂级数的系数,特别令
x0=0有
n=0∑∞anxn
定理 1(Abel 定理)
(1)若幂级数
n=0∑∞anxn在点
x=x0(x0=0)处收敛,则它对于满足不等式
∣x∣<∣x0∣ 的一切
x 都绝对收敛;
(2)若幂级数
n=0∑∞anxn在点
x=x0处发散,则它对于满足不等式
∣x∣>∣x0∣ 的一切
x 都发散
收敛半径(radius of convergence)
定理 2如果幂级数
n=0∑∞anxn既有不等于零的收敛点,又有发散点,则必存在唯一的正数
R∈R+ ,使得当
∣x∣<R 时,该幂级数绝对收敛;当
∣x∣>R 时,该幂级数发散;当
∣x∣=R 时,该幂级数可能收敛也可能发散。
R通常叫做收敛半径;开区间
(−R,R) 叫做收敛区间,再加上收敛端点就构成收敛域了
两种特殊情形:
(1)幂级数只在
x=0 处收敛时,收敛半径
R=0
(2)幂级数在整个数轴上收敛时,规定收敛半径
R=+∞
收敛半径的计算
定理 3 对于幂级数
n=0∑∞anxn,若
n→∞lim∣anan+1∣=ρ或n→∞limn∣an∣
=ρ,其中
ρ⩾0,则该幂级数的收敛半径为
R=ρ1
一般幂级数的收敛半径:对于一般幂级数
n=0∑∞an(x−x0)n,除收敛域为
{x0}或
(−∞,+∞)两种情形,一定存在正数
R的收敛半径。
幂级数的四则运算
设幂级数
n=0∑∞anxn及
n=0∑∞bnxn的收敛半径分别为
R1,R2,令
R=min{R1,R2},则它们的和、差、乘积在公共收敛区间
(−R,R)内都绝对收敛,且有
n=0∑∞anxn±n=0∑∞bnxn=n=0∑∞(an±bn)xn,(−R<x<R)(n=0∑∞anxn)(n=0∑∞bnxn)=n=0∑∞cnxn,(−R<x<R)
其中
cn=a0bn+a1bn−1+⋯+an−1b1+anb0
幂级数和函数的基本性质
性质 1 (幂级数和函数的连续性) 幂级数
n=0∑∞anxn的和函数
S(x)在其收敛域上连续
性质 2 (幂级数可逐项积分)幂级数
n=0∑∞anxn的和函数
S(x)在其收敛域
I上可积,并有逐项积分公式
∫0xS(x)dx=∫0xn=0∑∞anxndx=n=0∑∞∫0xanxndx=n=0∑∞n+1anxn+1
逐项积分后的得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径
性质 3 幂级数
n=0∑∞anxn的和函数
S(x)在其收敛区间
(−R,R)上可导,并有逐项求导公式
S′(x)=(n=0∑∞anxn)′=n=0∑∞(anxn)′=n=1∑∞nanxn−1
逐项求导后的得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径
推论 幂级数
n=0∑∞anxn的和函数
S(x)在其收敛区间
(−R,R)上具有任意阶导数
函数的幂级数展开
幂级数n=0∑∞anxn或n=0∑∞an(x−x0)nsum
expand和函数S(x)
泰勒级数
(1) 假设函数
f(x)在点
x0的某邻域内
U(x0)能展开成幂级数,即有
f(x)=n=0∑∞an(x−x0)n=a0+a1(x−x0)+⋯+an(x−x0)n+⋯,x∈U(x0)
(2) 由幂级数和函数的性质可知,
f(x)在
U(x0)内有任意阶导,且
f(n)(x0)=n!an,于是
an=n!1f(n)(x0),(n=0,1,2,⋯)
(3) 这就表明,若函数
f(x)在
U(x0)有幂级数,则展开式为
f(x)=n=0∑∞n!1f(n)(x0)(x−x0)n,x∈U(x0)此幂级数叫做泰勒级数(Taylor series),当
x0=0时,为麦克劳林级数(Maclaurin series)。
定理 函数
f(x)在点
x0的某邻域
U(x0)内具有任意阶导数,则
f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是
n→∞limRn(x)=0,x∈U(x0)
其中
Rn(x)为
f(x)在
x=x0处的n阶泰勒公式的余项
推导:由于n阶泰勒多项式
pn(x)=k=0∑nk!1f(k)(x0)(x−x0)k就是泰勒级数的前n+1项部分和,余项
Rn(x)=f(x)−pn(x),根据级数收敛的定义,有
n=0∑∞n!1f(n)(x0)(x−x0)n=f(x)⟺n→∞limpn(x)=f(x)⟺n→∞lim[f(x)−pn(x)]=f(x)⟺n→∞limRn(x)=0
下面着重讨论
x=x0的情形,即麦克劳林展开
用公式法将函数展为麦克劳林级数的步骤
(1)检验函数
f(x)在
x=0处是否任意次可导,并求出
f(n)(x),n=0,1,2,⋯;
(2)求出
f(n)(0),n=0,1,2,⋯;
(3) 写出幂级数
n=0∑∞n!1f(n)(0)xn,并求出收敛半径
R
(4)利用余项的表达式
Rn(x)=(n+1)!1f(n+1)(θx)xn+1(0<θ<1),如果
n→∞limRn(x)=0,x∈(−R,R),即可写出麦克劳林展开式
间接法将函数展为麦克劳林级数:通过幂级数的运算(如四则运算、逐项求导、逐项积分)以及变量代换等
ex=n=0∑∞n!1xn,x∈(−∞,+∞)
sinx=n=0∑∞(2n+1)!(−1)nx2n+1,x∈(−∞,+∞)
cosx=n=0∑∞(2n)!(−1)nx2n,x∈(−∞,+∞)
1+x1=n=0∑∞(−x)n,x∈(−1,1)
ln(1+x)=n=0∑∞n+1(−1)nxn+1,x∈(−1,1]
傅里叶级数(Fourier series)
三角级数(trigonometric series):形如
2a0+n=1∑∞(ancosnx+bnsinnx),T=2π 的级数叫三角级数,其中
a0,an,bn(n=1,2,⋯)是三角级数的系数
三角函数系
1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,⋯,cosnx,sinnx,⋯
正交性 (orthogonal) 对于三角函数系中任何不同的三角函数的乘积在
[−π,π]上的积分为0,即
∫−ππsinnxdx=0,(n=1,2,3,⋯)
∫−ππcosnxdx=0,(n=1,2,3,⋯)
∫−ππsinkxcosnxdx=0,(k,n=1,2,3,⋯)
∫−ππcoskxcosnxdx=0,(k,n=1,2,3,⋯,k=n)
∫−ππsinkxsinnxdx=0,(k,n=1,2,3,⋯,k=n)
函数的傅里叶级数展开
假设周期为
2π的函数
f(x)能展开成三角级数,即
f(x)=2a0+n=1∑∞(ancosnx+bnsinnx)
设右边三角级数在
[−π,π]上可以逐项积分,利用三角级数的正交性可得
⎩⎪⎨⎪⎧an=π1∫−ππf(x)cosnxdx,(n=0,1,2,3,⋯)bn=π1∫−ππf(x)sinnxdx,(n=1,2,3,⋯)
这时所确定的
a0,a1,b1,⋯为函数
f(x)的傅里叶系数(Fourier coefficient).所得到的三角级数
2a0+n=1∑∞(ancosnx+bnsinnx)称为函数
f(x)的傅里叶级数(Fourier series)
定理(Dirichlet 收敛定理)设
f(x)是周期为
2π的周期函数,并满足狄利克莱(Dirichlet )条件:
(1)在一个周期区间内连续或只有有限个第一类间断点;
(2)在一个周期区间内只有有限个极值点,
则
f(x)的傅里叶级数收敛,且有
2a0+n=1∑∞(ancosnx+bnsinnx)=⎩⎨⎧f(x)2f(x−)+f(x+)x为连续点x为间断点
其中
an,bn为
f(x)的傅里叶系数.
正弦级数和余弦级数
周期为
2π的函数
f(x)
若为奇函数,则傅里叶展开式为只含有正弦项的正弦级数
f(x)=n=1∑∞ansinnx
若为偶函数,则傅里叶展开式为只含有余弦项的余弦级数
f(x)=2a0+n=1∑∞ancosnx
周期延拓 (periodic extension)
若函数
f(x)只在
[−π,π]上有定义,并满足收敛条件,我们可在定义区间外补充函数的定义,使其成为周期为
2π的周期函数
F(x),再将
F(x)展开成傅里叶级数,最后限制
x∈[−π,π],此时
f(x)≡F(x)
用同样的方法也可为定义在
[0,π]或
[−π,0]的函数奇(偶)延拓
吉布斯现象 (Gibbs phenomenon)
在间断点附近部分和函数的图形出现大幅度波动,波动的区间随着项数的增加越来越小,但幅度似乎是一样的!
傅里叶级数在函数间断点处的上述现象称为吉布斯现象(Gibbs phenomenon)
一般周期函数的傅里叶级数
-
任意周期函数的傅里叶级数展开方法
设函数
f(x) 周期为
2l,令
x=πlt
则函数
F(t)=f(x)=f(πlt) 周期为2π
求得
F(t) 的傅里叶级数
再将
t=lπx 带入可得
f(x) 的傅里叶级数
定理 设周期为
2l的周期函数
f(x)满足收敛定理条件,则傅里叶展开式为
f(x)=2a0+n=1∑∞(ancoslnπx+bnsinlnπx),x∈C
其中
⎩⎪⎨⎪⎧an=l1∫−llf(x)coslnπxdx,(n=0,1,2,3,⋯)bn=l1∫−llf(x)sinlnπxdx,(n=1,2,3,⋯)C={x∣f(x)=21[f(x−)+f(x+)]}
-
定义在任何有限区间上的函数的傅里叶级数展开方法
设
f(x),x∈[a,b] ,令
x=t+2b+a
则
F(t)=f(x)=f(t+2b+a),t∈[−2b−a,2b−a]
做周期延拓,将
F(t) 在
[−2b−a,2b−a] 展开成傅里叶级数
将
t=x−2b+a 带入展开式
最后的到
f(x) 在
[a,b] 上的傅里叶展开
-
傅里叶级数的复数形式
设周期为
2l的函数
f(x)的傅里叶级数为
2a0+n=1∑∞(ancoslnπx+bnsinlnπx)
利用欧拉公式
cost=21(eit+e−it),sint=2i1(eit−e−it)
可得傅里叶级数的复数形式
f(x)=n=−∞∑+∞cneilnπx
其中
cn=2l1∫−llf(x)e−ilnπxdx,(n=0,±1,±2,⋯)