微积分(Calculus I) 微积分(Calculus II) 微积分(Calculus III)
平面点集 (planar point set)：
(
x
,
y
)
(x,y)
( x , y )
(
x
,
y
)
(x,y)
( x , y )
R
2
=
R
×
R
=
{
(
x
,
y
)
∣
x
,
y
∈
R
}
\R^2=\R×\R=\{(x,y)|x,y\in\R\}
R 2 = R × R = { ( x , y ) ∣ x , y ∈ R }
P
0
(
x
0
,
y
0
)
是
x
O
y
平
面
的
一
个
点
,
δ
>
0
P_0(x_0,y_0)是xOy平面的一个点, δ>0
P 0 ( x 0 , y 0 ) 是 x O y 平 面 的 一 个 点 , δ > 0 邻域 (neighborhood)：
U
(
P
0
,
δ
)
=
{
(
x
,
y
)
∣
(
x
−
x
0
)
2
+
(
y
−
y
0
)
2
<
δ
}
U(P_0,δ)=\{(x,y)|\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<δ\}
U ( P 0 , δ ) = { ( x , y ) ∣ ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2
< δ } 去心邻域 (punctured neighbourhood)：
U
˚
(
P
0
,
δ
)
=
{
(
x
,
y
)
∣
0
<
(
x
−
x
0
)
2
+
(
y
−
y
0
)
2
<
δ
}
\mathring{U}(P_0,δ)=\{(x,y)|0<\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<δ\}
U ˚ ( P 0 , δ ) = { ( x , y ) ∣ 0 < ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2
< δ }
δ
δ
δ
U
(
P
0
)
,
U
˚
(
P
0
)
U(P_0), \mathring{U}(P_0)
U ( P 0 ) , U ˚ ( P 0 )
P
∈
R
P\in\R
P ∈ R
D
⊂
R
2
D⊂\R^2
D ⊂ R 2
∃
U
(
P
)
,
U
(
P
)
⊂
D
∃ U(P),U(P)⊂ D
∃ U ( P ) , U ( P ) ⊂ D
∃
U
(
P
)
,
U
(
P
)
∩
D
=
∅
∃ U(P),U(P)∩ D=\empty
∃ U ( P ) , U ( P ) ∩ D = ∅
U
(
P
)
U(P)
U ( P ) 边界 ，记作
∂
D
∂ D
∂ D
∀
δ
>
0
,
∃
A
∈
U
˚
(
P
,
δ
)
,
A
∈
D
∀ δ>0,∃ A\in\mathring{U}(P,δ),A\in D
∀ δ > 0 , ∃ A ∈ U ˚ ( P , δ ) , A ∈ D
∀
P
∈
E
∀ P\in E
∀ P ∈ E
∂
E
⊂
E
∂ E⊂ E
∂ E ⊂ E
∃
r
>
0
,
E
⊂
U
(
O
,
r
)
,
O
∃ r>0,E⊂ U(O,r),O
∃ r > 0 , E ⊂ U ( O , r ) , O n维空间 (n-dimensional space)：n元有序实数组
(
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
)
(x_1,x_2,\cdots,x_n)
( x 1 , x 2 , ⋯ , x n )
R
n
=
{
(
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
)
∣
x
i
∈
R
,
i
=
1
,
2
,
⋯
,
n
}
\R^n=\{(x_1,x_2,\cdots,x_n)|x_i\in\R,i=1,2,\cdots,n\}
R n = { ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) ∣ x i ∈ R , i = 1 , 2 , ⋯ , n }
n维空间
R
n
\R^n
R n
x
=
(
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
)
,
y
=
(
y
1
,
y
2
,
⋯
,
y
n
)
∈
R
n
x=(x_1,x_2,\cdots,x_n),y=(y_1,y_2,\cdots,y_n)\in\R^n
x = ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) , y = ( y 1 , y 2 , ⋯ , y n ) ∈ R n
线性运算
x
+
y
=
(
x
1
+
y
1
,
x
2
+
y
2
,
⋯
,
x
n
+
y
n
)
λ
x
=
(
λ
x
1
,
λ
x
2
,
⋯
,
λ
x
n
)
,
λ
∈
R
x+y=(x_1+y_1,x_2+y_2,\cdots,x_n+y_n)\\ λx=(λx_1,λx_2,\cdots,λx_n),λ\in\R
x + y = ( x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , ⋯ , x n + y n ) λ x = ( λ x 1 , λ x 2 , ⋯ , λ x n ) , λ ∈ R
距离(distance)
ρ
(
x
,
y
)
=
(
x
1
−
y
1
)
2
+
(
x
2
−
y
2
)
2
+
⋯
+
(
x
n
−
y
n
)
2
ρ(x,y)=\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+\cdots+(x_n-y_n)^2}
ρ ( x , y ) = ( x 1 − y 1 ) 2 + ( x 2 − y 2 ) 2 + ⋯ + ( x n − y n ) 2
模(modulus)
∥
x
∥
=
ρ
(
x
,
O
)
=
x
1
2
+
x
2
2
+
⋯
+
x
n
2
\|x\|=ρ(x,O)=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}
∥ x ∥ = ρ ( x , O ) = x 1 2 + x 2 2 + ⋯ + x n 2
变元的极限
x
→
a
⟺
x
1
→
a
1
,
x
2
→
a
2
,
⋯
,
x
n
→
a
n
x\to a\iff x_1\to a_1,x_2\to a_2,\cdots,x_n\to a_n
x → a ⟺ x 1 → a 1 , x 2 → a 2 , ⋯ , x n → a n
定义邻域及其他
a
∈
R
n
,
δ
>
0
→
U
(
a
,
δ
)
=
{
x
∣
x
∈
R
n
,
ρ
(
x
,
a
)
<
δ
}
a\in \R^n,δ>0\rightarrow U(a,δ)=\{x\mid x\in\R^n,ρ(x,a)<δ\}
a ∈ R n , δ > 0 → U ( a , δ ) = { x ∣ x ∈ R n , ρ ( x , a ) < δ }
多元函数的概念 (function of several variables)
f
：
D
→
R
,
D
⊂
R
2
⇒
z
=
f
(
x
,
y
)
,
(
x
,
y
)
∈
D
f：D\to \R,D⊂\R^2\Rightarrow z=f(x,y),(x,y)\in D
f ： D → R , D ⊂ R 2 ⇒ z = f ( x , y ) , ( x , y ) ∈ D
f
：
D
→
R
,
D
⊂
R
n
⇒
u
=
f
(
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
)
,
(
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
)
∈
D
f：D\to \R,D⊂\R^n\Rightarrow u=f(x_1,x_2,\cdots,x_n),(x_1,x_2,\cdots,x_n)\in D
f ： D → R , D ⊂ R n ⇒ u = f ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) , ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) ∈ D
u
=
f
(
x
)
,
x
=
(
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
)
∈
D
u=f(x),x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)\in D
u = f ( x ) , x = ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) ∈ D
多元函数的极限 二重极限 ：
z
=
f
(
x
,
y
)
,
(
x
,
y
)
∈
D
,
P
0
(
x
0
,
y
0
)
z=f(x,y),(x,y)\in D,P_0(x_0,y_0)
z = f ( x , y ) , ( x , y ) ∈ D , P 0 ( x 0 , y 0 )
lim
(
x
,
y
)
→
(
x
0
,
y
0
)
f
(
x
,
y
)
=
A
或
lim
P
→
P
0
f
(
P
)
=
A
⟺
∃
A
,
∀
ϵ
>
0
,
∃
δ
>
0
,
使
得
P
(
x
,
y
)
∈
D
∪
U
˚
(
P
0
,
δ
)
时
,
都
有
∣
f
(
P
)
−
A
∣
=
∣
f
(
x
,
y
)
−
A
∣
<
ϵ
\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=A或\lim\limits_{P\to P_0}f(P)=A \iff ∃ A,∀ϵ>0,∃δ>0,使得P(x,y)\in D∪\mathring{U}(P_0,δ) 时,都有|f(P)-A|=|f(x,y)-A|< ϵ
( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) lim f ( x , y ) = A 或 P → P 0 lim f ( P ) = A ⟺ ∃ A , ∀ ϵ > 0 , ∃ δ > 0 , 使 得 P ( x , y ) ∈ D ∪ U ˚ ( P 0 , δ ) 时 , 都 有 ∣ f ( P ) − A ∣ = ∣ f ( x , y ) − A ∣ < ϵ
多元函数的连续性 ：
z
=
f
(
x
,
y
)
,
(
x
,
y
)
∈
D
,
P
0
(
x
0
,
y
0
)
是
D
的
聚
点
,
且
P
0
∈
D
z=f(x,y),(x,y)\in D,P_0(x_0,y_0)是D的聚点,且P_0\in D
z = f ( x , y ) , ( x , y ) ∈ D , P 0 ( x 0 , y 0 ) 是 D 的 聚 点 , 且 P 0 ∈ D
lim
(
x
,
y
)
→
(
x
0
,
y
0
)
f
(
x
,
y
)
=
f
(
x
0
,
y
0
)
⟺
函
数
在
点
P
0
连
续
\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)\iff 函数在点P_0连续
( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) lim f ( x , y ) = f ( x 0 , y 0 ) ⟺ 函 数 在 点 P 0 连 续
多元初等函数 ：由常数及不同自变量的一元基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算而得到的。
多元函数的性质 有界性与最大值最小值定理 ：在有界闭区域D上的多元连续函数，必定在D上有界，且能取得它的最大值最小值介值定理 :在有界闭区域D上的多元连续函数，必取得介于最大值最小值之间的任何值一致连续性定理 :在有界闭区域D上的多元连续函数，必定在D上一致连续(uniformly continuous)
(1)
z
=
f
(
x
,
y
)
在
点
(
x
0
,
y
0
)
z=f(x,y)在点(x_0,y_0)
z = f ( x , y ) 在 点 ( x 0 , y 0 )
f
x
(
x
0
,
y
0
)
=
lim
Δ
x
→
0
f
(
x
0
+
Δ
x
,
y
0
)
−
f
(
x
0
,
y
0
)
Δ
x
f_x(x_0,y_0)=\lim\limits_{Δ x\to0}\dfrac{f(x_0+Δ x,y_0)-f(x_0,y_0)}{Δ x}
f x ( x 0 , y 0 ) = Δ x → 0 lim Δ x f ( x 0 + Δ x , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 )
f
x
(
x
0
,
y
0
)
,
∂
z
∂
x
∣
x
=
x
0
y
=
y
0
,
∂
f
∂
x
∣
x
=
x
0
y
=
y
0
,
z
x
∣
x
=
x
0
y
=
y
0
f_x(x_0,y_0), \dfrac{∂ z}{∂ x}|_{x=x_0 \atop y=y_0}, \dfrac{∂ f}{∂ x}|_{x=x_0 \atop y=y_0},z_x|_{x=x_0 \atop y=y_0}
f x ( x 0 , y 0 ) , ∂ x ∂ z ∣ y = y 0 x = x 0 , ∂ x ∂ f ∣ y = y 0 x = x 0 , z x ∣ y = y 0 x = x 0
f
x
(
x
,
y
)
,
∂
z
∂
x
,
∂
f
∂
x
,
z
x
f_x(x,y), \dfrac{∂ z}{∂ x}, \dfrac{∂ f}{∂ x},z_x
f x ( x , y ) , ∂ x ∂ z , ∂ x ∂ f , z x
f
x
(
x
0
,
y
0
)
f_x(x_0,y_0)
f x ( x 0 , y 0 )
y
=
y
0
y=y_0
y = y 0
z
=
f
(
x
,
y
0
)
z=f(x,y_0)
z = f ( x , y 0 )
(
x
0
,
y
0
)
(x_0,y_0)
( x 0 , y 0 )
∂
∂
x
(
∂
z
∂
x
)
=
∂
2
z
∂
x
2
=
f
x
x
(
x
,
y
)
,
∂
∂
y
(
∂
z
∂
x
)
=
∂
2
z
∂
x
∂
y
=
f
x
y
(
x
,
y
)
∂
∂
x
(
∂
z
∂
y
)
=
∂
2
z
∂
y
∂
x
=
f
y
x
(
x
,
y
)
,
∂
∂
y
(
∂
z
∂
y
)
=
∂
2
y
∂
y
2
=
f
y
y
(
x
,
y
)
\dfrac{∂}{∂ x}(\dfrac{∂ z}{∂ x})=\dfrac{∂^2 z}{∂ x^2}=f_{xx}(x,y), \dfrac{∂}{∂ y}(\dfrac{∂ z}{∂ x})=\dfrac{∂^2 z}{∂ x∂ y}=f_{xy}(x,y)\\ \dfrac{∂}{∂ x}(\dfrac{∂ z}{∂ y})=\dfrac{∂^2 z}{∂ y∂ x}=f_{yx}(x,y), \dfrac{∂}{∂ y}(\dfrac{∂ z}{∂ y})=\dfrac{∂^2 y}{∂ y^2}=f_{yy}(x,y)
∂ x ∂ ( ∂ x ∂ z ) = ∂ x 2 ∂ 2 z = f x x ( x , y ) , ∂ y ∂ ( ∂ x ∂ z ) = ∂ x ∂ y ∂ 2 z = f x y ( x , y ) ∂ x ∂ ( ∂ y ∂ z ) = ∂ y ∂ x ∂ 2 z = f y x ( x , y ) , ∂ y ∂ ( ∂ y ∂ z ) = ∂ y 2 ∂ 2 y = f y y ( x , y ) 定理 高阶混合偏导数在连续条件下与求导次序无关（即
∂
2
z
∂
x
∂
y
=
∂
2
z
∂
y
∂
x
\dfrac{∂^2 z}{∂ x∂ y}=\dfrac{∂^2 z}{∂ y∂ x}
∂ x ∂ y ∂ 2 z = ∂ y ∂ x ∂ 2 z
偏增量 (partial increment)：根据一元函数的关系可得
f
(
x
+
Δ
x
,
y
0
)
−
f
(
x
,
y
)
≈
f
x
(
x
,
y
)
Δ
x
f(x+Δ x,y_0)-f(x,y)\approx f_x(x,y)Δ x
f ( x + Δ x , y 0 ) − f ( x , y ) ≈ f x ( x , y ) Δ x 全增量 (total increment)：
Δ
z
=
f
(
x
+
Δ
x
,
y
+
Δ
y
)
−
f
(
x
,
y
)
Δ z=f(x+Δ x,y+Δ y)-f(x,y)
Δ z = f ( x + Δ x , y + Δ y ) − f ( x , y ) 全微分的定义 ：若函数
z
=
f
(
x
,
y
)
z=f(x,y)
z = f ( x , y )
(
x
,
y
)
(x,y)
( x , y )
Δ
z
=
f
(
x
+
Δ
x
,
y
+
Δ
y
)
−
f
(
x
,
y
)
Δ z=f(x+Δ x,y+Δ y)-f(x,y)
Δ z = f ( x + Δ x , y + Δ y ) − f ( x , y )
Δ
z
=
A
Δ
x
+
B
Δ
y
+
o
(
ρ
)
Δ z=AΔ x+BΔ y+o(ρ)
Δ z = A Δ x + B Δ y + o ( ρ )
Δ
x
和
Δ
y
Δ x和Δ y
Δ x 和 Δ y
ρ
=
(
Δ
x
)
2
+
(
Δ
y
)
2
ρ=\sqrt{(Δ x)^2+(Δ y)^2}
ρ = ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2
(
x
,
y
)
(x,y)
( x , y ) 可微分 (differentiable)，
A
Δ
x
+
B
Δ
y
AΔ x+BΔ y
A Δ x + B Δ y 全微分 ，记作
d
z
\mathrm{d}z
d z
d
z
=
A
Δ
x
+
B
Δ
y
\mathrm{d}z=AΔ x+BΔ y
d z = A Δ x + B Δ y 全微分与偏导数 必要条件
函
数
z
=
f
(
x
,
y
)
在
(
x
,
y
)
可
微
分
，
那
该
函
数
在
(
x
,
y
)
偏
导
数
∂
z
∂
x
，
∂
z
∂
y
必
定
存
在
函数z=f(x,y)在(x,y)可微分，那该函数在(x,y)偏导数 \dfrac{∂ z}{∂ x}， \dfrac{∂ z}{∂ y}必定存在
函 数 z = f ( x , y ) 在 ( x , y ) 可 微 分 ， 那 该 函 数 在 ( x , y ) 偏 导 数 ∂ x ∂ z ， ∂ y ∂ z 必 定 存 在
d
z
=
∂
z
∂
x
Δ
x
+
∂
z
∂
y
Δ
y
\mathrm{d}z=\dfrac{∂ z}{∂ x}Δ x+\dfrac{∂ z}{∂ y}Δ y
d z = ∂ x ∂ z Δ x + ∂ y ∂ z Δ y 充分条件
函
数
z
=
f
(
x
,
y
)
的
偏
导
数
∂
z
∂
x
，
∂
z
∂
y
在
(
x
,
y
)
连
续
，
那
么
函
数
在
该
点
可
微
分
函数z=f(x,y)的偏导数 \dfrac{∂ z}{∂ x}， \dfrac{∂ z}{∂ y}在(x,y)连续，那么函数在该点可微分
函 数 z = f ( x , y ) 的 偏 导 数 ∂ x ∂ z ， ∂ y ∂ z 在 ( x , y ) 连 续 ， 那 么 函 数 在 该 点 可 微 分 叠加原理 习惯上自变量的增量
Δ
x
,
Δ
y
Δ x,Δ y
Δ x , Δ y
d
x
,
d
y
\mathrm{d}x,\mathrm{d}y
d x , d y
d
z
=
∂
z
∂
x
d
x
+
∂
z
∂
y
d
y
\mathrm{d}z=\dfrac{∂ z}{∂ x}\mathrm{d}x+\dfrac{∂ z}{∂ y}\mathrm{d}y
d z = ∂ x ∂ z d x + ∂ y ∂ z d y
多元复合函数的求导法则
u
=
ϕ
(
t
)
,
v
=
ψ
(
t
)
,
z
=
f
(
u
,
v
)
u=ϕ(t),v=ψ(t),z=f(u,v)
u = ϕ ( t ) , v = ψ ( t ) , z = f ( u , v )
d
z
d
t
=
∂
z
∂
u
d
u
d
t
+
∂
z
∂
v
d
v
d
t
\dfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}=\dfrac{∂ z}{∂ u}\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}+\dfrac{∂ z}{∂ v}\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}
d t d z = ∂ u ∂ z d t d u + ∂ v ∂ z d t d v
u
=
ϕ
(
x
,
y
)
,
v
=
ψ
(
x
,
y
)
,
z
=
f
(
u
,
v
)
u=ϕ(x,y),v=ψ(x,y),z=f(u,v)
u = ϕ ( x , y ) , v = ψ ( x , y ) , z = f ( u , v )
∂
z
∂
x
=
∂
z
∂
u
∂
u
∂
x
+
∂
z
∂
v
∂
v
∂
x
,
∂
z
∂
y
=
∂
z
∂
u
∂
u
∂
y
+
∂
z
∂
v
∂
v
∂
y
\dfrac{∂ z}{∂ x}=\dfrac{∂ z}{∂ u}\dfrac{∂ u}{∂ x}+\dfrac{∂ z}{∂ v}\dfrac{∂ v}{∂ x} ,\quad \dfrac{∂ z}{∂ y}=\dfrac{∂ z}{∂ u}\dfrac{∂ u}{∂ y}+\dfrac{∂ z}{∂ v}\dfrac{∂ v}{∂ y}
∂ x ∂ z = ∂ u ∂ z ∂ x ∂ u + ∂ v ∂ z ∂ x ∂ v , ∂ y ∂ z = ∂ u ∂ z ∂ y ∂ u + ∂ v ∂ z ∂ y ∂ v 全微分形式不变性 ：
u
=
ϕ
(
x
,
y
)
,
v
=
ψ
(
x
,
y
)
,
z
=
f
(
u
,
v
)
u=ϕ(x,y),v=ψ(x,y),z=f(u,v)
u = ϕ ( x , y ) , v = ψ ( x , y ) , z = f ( u , v )
d
z
=
∂
z
∂
x
d
x
+
∂
z
∂
y
d
y
=
∂
z
∂
u
d
u
+
∂
z
∂
v
d
v
\mathrm{d}z=\dfrac{∂ z}{∂ x}\mathrm{d}x+\dfrac{∂ z}{∂ y}\mathrm{d}y=\dfrac{∂ z}{∂ u}\mathrm{d}u+\dfrac{∂ z}{∂ v}\mathrm{d}v
d z = ∂ x ∂ z d x + ∂ y ∂ z d y = ∂ u ∂ z d u + ∂ v ∂ z d v
隐函数的求导公式
F
(
x
,
y
)
=
0
F(x,y)=0
F ( x , y ) = 0
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y = f ( x )
d
y
d
x
=
−
F
x
F
y
\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\dfrac{F_x}{F_y}
d x d y = − F y F x
F
(
x
,
y
,
z
)
=
0
F(x,y,z)=0
F ( x , y , z ) = 0
z
=
f
(
x
,
y
)
z=f(x,y)
z = f ( x , y )
∂
z
∂
x
=
−
F
x
F
z
,
∂
z
∂
y
=
−
F
y
F
z
\dfrac{∂ z}{∂ x}=-\dfrac{F_x}{F_z},\quad \dfrac{∂ z}{∂ y}=-\dfrac{F_y}{F_z}
∂ x ∂ z = − F z F x , ∂ y ∂ z = − F z F y
{
F
(
x
,
y
,
u
,
v
)
=
0
G
(
x
,
y
,
u
,
v
)
=
0
\begin{cases} F(x,y,u,v)=0 \\ G(x,y,u,v)=0 \end{cases}
{ F ( x , y , u , v ) = 0 G ( x , y , u , v ) = 0
u
=
u
(
x
,
y
)
,
v
=
v
(
x
,
y
)
u=u(x,y),v=v(x,y)
u = u ( x , y ) , v = v ( x , y )
∂
u
∂
x
=
−
1
J
∂
(
F
,
G
)
∂
(
x
,
v
)
,
∂
u
∂
y
=
−
1
J
∂
(
F
,
G
)
∂
(
y
,
v
)
∂
v
∂
x
=
−
1
J
∂
(
F
,
G
)
∂
(
u
,
x
)
,
∂
v
∂
y
=
−
1
J
∂
(
F
,
G
)
∂
(
u
,
y
)
\dfrac{∂ u}{∂ x}=-\dfrac{1}{J}\dfrac{∂(F,G)}{∂(x,v)}, \dfrac{∂ u}{∂ y}=-\dfrac{1}{J}\dfrac{∂(F,G)}{∂(y,v)} \\ \dfrac{∂ v}{∂ x}=-\dfrac{1}{J}\dfrac{∂(F,G)}{∂(u,x)}, \dfrac{∂ v}{∂ y}=-\dfrac{1}{J}\dfrac{∂(F,G)}{∂(u,y)}
∂ x ∂ u = − J 1 ∂ ( x , v ) ∂ ( F , G ) , ∂ y ∂ u = − J 1 ∂ ( y , v ) ∂ ( F , G ) ∂ x ∂ v = − J 1 ∂ ( u , x ) ∂ ( F , G ) , ∂ y ∂ v = − J 1 ∂ ( u , y ) ∂ ( F , G )
J
=
∂
(
F
,
G
)
∂
(
u
,
v
)
=
∣
∂
F
∂
u
∂
F
∂
v
∂
G
∂
u
∂
G
∂
v
∣
J= \dfrac{∂(F,G)}{∂(u,v)}=\begin{vmatrix} \dfrac{∂ F}{∂ u} & \dfrac{∂ F}{∂ v} \\ \\ \dfrac{∂ G}{∂ u} & \dfrac{∂ G}{∂ v}\end{vmatrix}
J = ∂ ( u , v ) ∂ ( F , G ) = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∂ u ∂ F ∂ u ∂ G ∂ v ∂ F ∂ v ∂ G ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣
一元向量值函数 (vector objective function)：
Γ
Γ
Γ
{
x
=
x
(
t
)
y
=
y
(
t
)
z
=
z
(
t
)
\begin{cases}x=x(t)\\ y=y(t)\\ z=z(t) \end{cases}
⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ x = x ( t ) y = y ( t ) z = z ( t )
r
=
f
(
t
)
=
x
(
t
)
i
+
y
(
t
)
j
+
z
(
t
)
k
,
f
(
t
)
⊂
R
3
\mathbf r=\mathbf f(t)=x(t)\mathbf i+y(t)\mathbf j+z(t)\mathbf k,\mathbf f(t)⊂\R^3
r = f ( t ) = x ( t ) i + y ( t ) j + z ( t ) k , f ( t ) ⊂ R 3 极限
lim
t
→
t
0
f
(
t
)
=
r
0
\lim\limits_{t\to t_0}\mathbf f(t)=\mathbf r_0
t → t 0 lim f ( t ) = r 0 连续
f
(
t
)
在
t
0
连
续
⟺
lim
t
→
t
0
f
(
t
)
=
f
(
t
0
)
\mathbf f(t)在t_0连续\iff\lim\limits_{t\to t_0}\mathbf f(t)=\mathbf f(t_0)
f ( t ) 在 t 0 连 续 ⟺ t → t 0 lim f ( t ) = f ( t 0 ) 导数
f
′
(
t
)
=
lim
Δ
t
→
0
f
(
t
+
Δ
t
)
−
f
(
t
)
Δ
t
\mathbf f'(t)=\lim\limits_{Δ t\to0}\dfrac{\mathbf f(t+Δ t)-\mathbf f (t)}{Δ t}
f ′ ( t ) = Δ t → 0 lim Δ t f ( t + Δ t ) − f ( t )
f
′
(
t
)
=
x
′
(
t
)
i
+
y
′
(
t
)
j
+
z
′
(
t
)
k
\mathbf f'(t)=x'(t)\mathbf i+y'(t)\mathbf j+z'(t)\mathbf k
f ′ ( t ) = x ′ ( t ) i + y ′ ( t ) j + z ′ ( t ) k
(
u
⋅
v
)
′
=
u
′
⋅
v
+
u
⋅
v
′
(\mathbf u\cdot\mathbf v)'=\mathbf u'\cdot\mathbf v+\mathbf u\cdot\mathbf v'
( u ⋅ v ) ′ = u ′ ⋅ v + u ⋅ v ′
(
u
×
v
)
′
=
u
′
×
v
+
u
×
v
′
(\mathbf u×\mathbf v)'=\mathbf u'×\mathbf v+\mathbf u×\mathbf v'
( u × v ) ′ = u ′ × v + u × v ′
d
u
d
t
=
d
u
d
v
d
v
d
t
\dfrac{\mathrm{d}\mathbf u}{\mathrm{d}t}=\dfrac{\mathrm{d}\mathbf u}{\mathrm{d}\mathbf v}\dfrac{\mathrm{d}\mathbf v}{\mathrm{d}t}
d t d u = d v d u d t d v
Γ
Γ
Γ
M
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
M(x_0,y_0,z_0)
M ( x 0 , y 0 , z 0 ) 切线方程 为
x
−
x
0
x
′
(
t
0
)
=
y
−
y
0
y
′
(
t
0
)
=
z
−
z
0
z
′
(
t
0
)
\dfrac{x-x_0}{x'(t_0)}=\dfrac{y-y_0}{y'(t_0)}=\dfrac{z-z_0}{z'(t_0)}
x ′ ( t 0 ) x − x 0 = y ′ ( t 0 ) y − y 0 = z ′ ( t 0 ) z − z 0 法平面方程 为
x
′
(
t
0
)
(
x
−
x
0
)
+
y
′
(
t
0
)
(
y
−
y
0
)
+
z
′
(
t
0
)
(
z
−
z
0
)
=
0
x'(t_0)(x-x_0)+y'(t_0)(y-y_0)+z'(t_0)(z-z_0)=0
x ′ ( t 0 ) ( x − x 0 ) + y ′ ( t 0 ) ( y − y 0 ) + z ′ ( t 0 ) ( z − z 0 ) = 0
Γ
Γ
Γ
{
F
(
x
,
y
,
z
)
=
0
G
(
x
,
y
,
z
)
=
0
\begin{cases}F(x,y,z)=0\\ G(x,y,z)=0 \end{cases}
{ F ( x , y , z ) = 0 G ( x , y , z ) = 0
∣
F
y
F
z
G
y
G
z
∣
(
x
−
x
0
)
+
∣
F
z
F
x
G
z
G
x
∣
(
y
−
y
0
)
+
∣
F
x
F
y
G
x
G
y
∣
(
z
−
z
0
)
=
0
\begin{vmatrix}F_y&F_z \\ G_y&G_z\end{vmatrix}(x-x_0)+ \begin{vmatrix}F_z&F_x \\ G_z&G_x\end{vmatrix}(y-y_0)+ \begin{vmatrix}F_x&F_y \\ G_x&G_y\end{vmatrix}(z-z_0)=0
∣ ∣ ∣ ∣ F y G y F z G z ∣ ∣ ∣ ∣ ( x − x 0 ) + ∣ ∣ ∣ ∣ F z G z F x G x ∣ ∣ ∣ ∣ ( y − y 0 ) + ∣ ∣ ∣ ∣ F x G x F y G y ∣ ∣ ∣ ∣ ( z − z 0 ) = 0
曲面
Σ
方
程
F
(
x
,
y
,
z
)
=
0
Σ方程F(x,y,z)=0
Σ 方 程 F ( x , y , z ) = 0
M
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
M(x_0,y_0,z_0)
M ( x 0 , y 0 , z 0 ) 切平面 方程为
F
x
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
(
x
−
x
0
)
+
F
y
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
(
y
−
y
0
)
+
F
z
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
(
z
−
z
0
)
=
0
F_x(x_0,y_0,z_0)(x-x_0)+F_y(x_0,y_0,z_0)(y-y_0)+F_z(x_0,y_0,z_0)(z-z_0)=0
F x ( x 0 , y 0 , z 0 ) ( x − x 0 ) + F y ( x 0 , y 0 , z 0 ) ( y − y 0 ) + F z ( x 0 , y 0 , z 0 ) ( z − z 0 ) = 0 法线 方程
x
−
x
0
F
x
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
=
y
−
y
0
F
y
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
=
z
−
z
0
F
z
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
\dfrac{x-x_0}{F_x(x_0,y_0,z_0)}=\dfrac{y-y_0}{F_y(x_0,y_0,z_0)}=\dfrac{z-z_0}{F_z(x_0,y_0,z_0)}
F x ( x 0 , y 0 , z 0 ) x − x 0 = F y ( x 0 , y 0 , z 0 ) y − y 0 = F z ( x 0 , y 0 , z 0 ) z − z 0
方向导数 (directional derivative)：函数
f
(
x
,
y
)
f(x,y)
f ( x , y )
P
0
(
x
0
,
y
0
)
P_0(x_0,y_0)
P 0 ( x 0 , y 0 )
l
l
l
∂
f
∂
l
∣
(
x
0
,
y
0
)
=
f
x
(
x
0
,
y
0
)
cos
α
+
f
y
(
x
0
,
y
0
)
cos
β
\dfrac{∂ f}{∂ l}\mid_{(x_0,y_0)}=f_x(x_0,y_0)\cosα+f_y(x_0,y_0)\cosβ
∂ l ∂ f ∣ ( x 0 , y 0 ) = f x ( x 0 , y 0 ) cos α + f y ( x 0 , y 0 ) cos β
cos
α
,
cos
β
为
l
\cosα,\cosβ为l
cos α , cos β 为 l
P
0
P_0
P 0
l
l
l 梯度 (gradient)：函数
f
(
x
,
y
)
f(x,y)
f ( x , y )
P
0
(
x
0
,
y
0
)
P_0(x_0,y_0)
P 0 ( x 0 , y 0 )
g
r
a
d
f
(
x
0
,
y
0
)
=
∇
f
(
x
0
,
y
0
)
=
f
x
(
x
0
,
y
0
)
i
+
f
y
(
x
0
,
y
0
)
j
\mathrm{grad}f(x_0,y_0)=∇ f(x_0,y_0)=f_x(x_0,y_0)\mathbf i+f_y(x_0,y_0)\mathbf j
g r a d f ( x 0 , y 0 ) = ∇ f ( x 0 , y 0 ) = f x ( x 0 , y 0 ) i + f y ( x 0 , y 0 ) j
∇
=
∂
∂
x
i
+
∂
∂
y
j
∇=\dfrac{∂}{∂ x}\mathbf i+\dfrac{∂}{∂ y}\mathbf j
∇ = ∂ x ∂ i + ∂ y ∂ j
∇
f
=
∂
f
∂
x
i
+
∂
f
∂
y
j
∇ f=\dfrac{∂ f}{∂ x}\mathbf i+\dfrac{∂ f}{∂ y}\mathbf j
∇ f = ∂ x ∂ f i + ∂ y ∂ f j
方向导数与梯度 ：
e
l
=
(
cos
α
,
cos
β
)
\mathbf e_l=(\cosα,\cosβ)
e l = ( cos α , cos β )
l
l
l
∂
f
∂
l
∣
(
x
0
,
y
0
)
=
g
r
a
d
f
(
x
0
,
y
0
)
⋅
e
l
=
∣
g
r
a
d
f
(
x
0
,
y
0
)
∣
cos
θ
\dfrac{∂ f}{∂ l}\mid_{(x_0,y_0)}=\mathrm{grad}f(x_0,y_0)\cdot\mathbf e_l=|\mathrm{grad}f(x_0,y_0)|\cosθ
∂ l ∂ f ∣ ( x 0 , y 0 ) = g r a d f ( x 0 , y 0 ) ⋅ e l = ∣ g r a d f ( x 0 , y 0 ) ∣ cos θ
θ
θ
θ
g
r
a
d
f
(
x
0
,
y
0
)
\mathrm{grad}f(x_0,y_0)
g r a d f ( x 0 , y 0 )
e
l
\mathbf e_l
e l
θ
=
0
θ=0
θ = 0
f
(
x
,
y
)
f(x,y)
f ( x , y )
θ
=
π
θ=π
θ = π
f
(
x
,
y
)
f(x,y)
f ( x , y )
θ
=
π
2
θ=\dfrac{π}{2}
θ = 2 π
f
(
x
,
y
)
f(x,y)
f ( x , y ) 等值线 (isoline)：曲面
z
=
f
(
x
,
y
)
z=f(x,y)
z = f ( x , y )
z
=
c
z=c
z = c
L
L
L
{
z
=
f
(
x
,
y
)
z
=
c
\begin{cases}z=f(x,y) \\z=c \end{cases}
{ z = f ( x , y ) z = c
x
O
y
xOy
x O y
L
∗
:
f
(
x
,
y
)
=
c
L^*:f(x,y)=c
L ∗ : f ( x , y ) = c
L
∗
L^*
L ∗
z
=
f
(
x
,
y
)
z=f(x,y)
z = f ( x , y )
L
∗
L^*
L ∗
n
=
∇
f
(
x
0
,
y
0
)
∣
∇
f
(
x
0
,
y
0
)
∣
\mathbf n=\dfrac{∇ f(x_0,y_0)}{|∇ f(x_0,y_0)|}
n = ∣ ∇ f ( x 0 , y 0 ) ∣ ∇ f ( x 0 , y 0 )
∂
f
∂
n
\dfrac{∂ f}{∂ n}
∂ n ∂ f
∇
f
(
x
0
,
y
0
)
=
∂
f
∂
n
n
∇ f(x_0,y_0)=\dfrac{∂ f}{∂ n}\mathbf n
∇ f ( x 0 , y 0 ) = ∂ n ∂ f n
势场 (potential)：梯度场
g
r
a
d
m
r
=
−
m
r
2
e
r
\mathrm{grad}\dfrac{m}{r}=-\dfrac{m}{r^2}\mathbf e_r
g r a d r m = − r 2 m e r
m
r
\dfrac{m}{r}
r m
无条件极值 (定义) ：函数
z
=
f
(
x
,
y
)
z=f(x,y)
z = f ( x , y )
P
0
(
x
0
,
y
0
)
P_0(x_0,y_0)
P 0 ( x 0 , y 0 )
∀
(
x
,
y
)
∈
U
˚
(
P
0
)
,
f
(
x
,
y
)
<
f
(
x
0
,
y
0
)
或
f
(
x
,
y
)
>
f
(
x
0
,
y
0
)
,
称
f
(
x
0
,
y
)
)
是
函
数
f
(
x
,
y
)
的
一
个
极
大
值
或
极
小
值
,
极
大
值
和
极
小
值
统
称
为
极
值
,
使
函
数
取
得
极
值
的
点
称
为
极
值
点
∀ (x,y)\in\mathring{U}(P_0),f(x,y)<f(x_0,y_0)或f(x,y)>f(x_0,y_0),称f(x_0,y_))是函数f(x,y)的一个极大值或极小值,极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点
∀ ( x , y ) ∈ U ˚ ( P 0 ) , f ( x , y ) < f ( x 0 , y 0 ) 或 f ( x , y ) > f ( x 0 , y 0 ) , 称 f ( x 0 , y ) ) 是 函 数 f ( x , y ) 的 一 个 极 大 值 或 极 小 值 , 极 大 值 和 极 小 值 统 称 为 极 值 , 使 函 数 取 得 极 值 的 点 称 为 极 值 点 (必要条件) ：
设
f
(
x
,
y
)
在
(
x
0
,
y
0
)
处
有
偏
导
数
,
f
(
x
0
,
y
0
)
为
极
值
⇒
f
x
(
x
0
,
y
0
)
=
0
,
f
y
(
x
0
,
y
0
)
=
0
设f(x,y)在(x_0,y_0)处有偏导数,f(x_0,y_0)为极值\Rightarrow f_x(x_0,y_0)=0,f_y(x_0,y_0)=0
设 f ( x , y ) 在 ( x 0 , y 0 ) 处 有 偏 导 数 , f ( x 0 , y 0 ) 为 极 值 ⇒ f x ( x 0 , y 0 ) = 0 , f y ( x 0 , y 0 ) = 0
(
x
0
,
y
0
)
(x_0,y_0)
( x 0 , y 0 ) (充分条件) ：
设
f
(
x
,
y
)
在
(
x
0
,
y
0
)
处
连
续
,
且
f
x
(
x
0
,
y
0
)
=
0
,
f
y
(
x
0
,
y
0
)
=
0
,
令
f
x
x
(
x
0
,
y
0
)
=
A
,
f
x
y
(
x
0
,
y
0
)
=
B
,
f
y
y
(
x
0
,
y
0
)
=
C
,
则
A
C
−
B
2
{
<
0
,
有
极
值
,
A
<
0
有
极
大
值
,
A
>
0
有
极
小
值
>
0
,
没
有
极
值
=
0
,
另
做
讨
论
设f(x,y)在(x_0,y_0)处连续,且f_x(x_0,y_0)=0,f_y(x_0,y_0)=0,令f_{xx}(x_0,y_0)=A,f_{xy}(x_0,y_0)=B,f_{yy}(x_0,y_0)=C,则\\ AC-B^2\begin{cases}<0,&有极值,A<0有极大值,A>0有极小值 \\ >0,&没有极值 \\=0, &另做讨论 \end{cases}
设 f ( x , y ) 在 ( x 0 , y 0 ) 处 连 续 , 且 f x ( x 0 , y 0 ) = 0 , f y ( x 0 , y 0 ) = 0 , 令 f x x ( x 0 , y 0 ) = A , f x y ( x 0 , y 0 ) = B , f y y ( x 0 , y 0 ) = C , 则 A C − B 2 ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ < 0 , > 0 , = 0 , 有 极 值 , A < 0 有 极 大 值 , A > 0 有 极 小 值 没 有 极 值 另 做 讨 论
拉格朗日乘子法
z
=
f
(
x
,
y
)
z=f(x,y)
z = f ( x , y )
ϕ
(
x
,
y
)
=
0
ϕ(x,y)=0
ϕ ( x , y ) = 0
L
(
x
,
y
)
=
f
(
x
,
y
)
+
λ
ϕ
(
x
,
y
)
L(x,y)=f(x,y)+λ ϕ(x,y)
L ( x , y ) = f ( x , y ) + λ ϕ ( x , y )
{
f
x
(
x
,
y
)
+
λ
ϕ
x
(
x
,
y
)
=
0
f
y
(
x
,
y
)
+
λ
ϕ
y
(
x
,
y
)
=
0
ϕ
(
x
,
y
)
=
0
\begin{cases}f_x(x,y)+λ ϕ_x(x,y)=0\\ f_y(x,y)+λ ϕ_y(x,y)=0\\ ϕ(x,y)=0\end{cases}
⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ f x ( x , y ) + λ ϕ x ( x , y ) = 0 f y ( x , y ) + λ ϕ y ( x , y ) = 0 ϕ ( x , y ) = 0
x
,
y
,
λ
x,y,λ
x , y , λ
(
x
,
y
)
(x,y)
( x , y )
最小二乘法 (least square method)
(
x
i
,
y
i
)
(x_i,y_i)
( x i , y i )
f
(
x
)
=
a
x
+
b
f(x)=ax+b
f ( x ) = a x + b
y
i
−
f
(
x
i
)
y_i-f(x_i)
y i − f ( x i )
M
(
a
,
b
)
=
∑
[
y
i
−
(
a
x
i
+
b
)
]
2
M(a,b)=\sum [y_i-(ax_i+b)]^2
M ( a , b ) = ∑ [ y i − ( a x i + b ) ] 2
{
M
a
(
a
,
b
)
=
0
M
b
(
a
,
b
)
=
0
\begin{cases}M_a(a,b)=0\\ M_b(a,b)=0\end{cases}
{ M a ( a , b ) = 0 M b ( a , b ) = 0
设
函
数
z
=
f
(
x
,
y
)
在
点
P
0
(
x
0
,
y
0
)
的
某
一
邻
域
U
(
P
0
)
连
续
且
有
(
n
+
1
)
阶
连
续
偏
导
数
,
(
x
0
+
h
,
y
0
+
k
)
∈
U
(
P
0
)
设函数z=f(x,y)在点P_0(x_0,y_0)的某一邻域U(P_0)连续且有(n+1)阶连续偏导数,(x_0+h,y_0+k)\in U(P_0)
设 函 数 z = f ( x , y ) 在 点 P 0 ( x 0 , y 0 ) 的 某 一 邻 域 U ( P 0 ) 连 续 且 有 ( n + 1 ) 阶 连 续 偏 导 数 , ( x 0 + h , y 0 + k ) ∈ U ( P 0 )
f
(
x
0
+
h
,
y
0
+
k
)
=
f
(
x
0
,
y
0
)
+
(
h
∂
∂
x
+
k
∂
∂
y
)
f
(
x
0
,
y
0
)
+
1
2
!
(
h
∂
∂
x
+
k
∂
∂
y
)
2
f
(
x
0
,
y
0
)
+
⋯
+
1
n
!
(
h
∂
∂
x
+
k
∂
∂
y
)
n
f
(
x
0
,
y
0
)
+
R
n
=
∑
i
=
0
n
1
i
!
(
h
∂
∂
x
+
k
∂
∂
y
)
i
f
(
x
0
,
y
0
)
+
R
n
\begin{aligned} f(x_0+h,y_0+k)&=f(x_0,y_0)+(h\dfrac{∂}{∂ x}+k\dfrac{∂}{∂ y})f(x_0,y_0)+\dfrac{1}{2!}(h\dfrac{∂}{∂ x}+k\dfrac{∂}{∂ y})^2f(x_0,y_0)+\cdots+\dfrac{1}{n!}(h\dfrac{∂}{∂ x}+k\dfrac{∂}{∂ y})^nf(x_0,y_0)+R_n \\ &=\displaystyle\sum_{i=0}^{n}\dfrac{1}{i!}(h\dfrac{∂}{∂ x}+k\dfrac{∂}{∂ y})^i f(x_0,y_0)+R_n \end{aligned}
f ( x 0 + h , y 0 + k ) = f ( x 0 , y 0 ) + ( h ∂ x ∂ + k ∂ y ∂ ) f ( x 0 , y 0 ) + 2 ! 1 ( h ∂ x ∂ + k ∂ y ∂ ) 2 f ( x 0 , y 0 ) + ⋯ + n ! 1 ( h ∂ x ∂ + k ∂ y ∂ ) n f ( x 0 , y 0 ) + R n = i = 0 ∑ n i ! 1 ( h ∂ x ∂ + k ∂ y ∂ ) i f ( x 0 , y 0 ) + R n
(
h
∂
∂
x
+
k
∂
∂
y
)
f
(
x
0
,
y
0
)
表
示
h
f
x
(
x
0
,
y
0
)
+
k
f
y
(
x
0
,
y
0
)
(
h
∂
∂
x
+
k
∂
∂
y
)
2
f
(
x
0
,
y
0
)
表
示
h
2
f
x
x
(
x
0
,
y
0
)
+
2
h
k
f
x
y
(
x
0
,
y
0
)
+
k
2
f
y
y
(
x
0
,
y
0
)
\begin{aligned} &(h\dfrac{∂}{∂ x}+k\dfrac{∂}{∂ y})f(x_0,y_0)表示 hf_x(x_0,y_0)+kf_y(x_0,y_0)\\ &(h\dfrac{∂}{∂ x}+k\dfrac{∂}{∂ y})^2f(x_0,y_0)表示 h^2f_{xx}(x_0,y_0)+2hkf_{xy}(x_0,y_0)+k^2f_{yy}(x_0,y_0) \end{aligned}
( h ∂ x ∂ + k ∂ y ∂ ) f ( x 0 , y 0 ) 表 示 h f x ( x 0 , y 0 ) + k f y ( x 0 , y 0 ) ( h ∂ x ∂ + k ∂ y ∂ ) 2 f ( x 0 , y 0 ) 表 示 h 2 f x x ( x 0 , y 0 ) + 2 h k f x y ( x 0 , y 0 ) + k 2 f y y ( x 0 , y 0 )
(
h
∂
∂
x
+
k
∂
∂
y
)
m
f
(
x
0
,
y
0
)
表
示
∑
p
=
0
m
∁
m
p
h
p
k
m
−
p
∂
m
f
∂
x
p
∂
y
m
−
p
∣
(
x
0
,
y
0
)
(h\dfrac{∂}{∂ x}+k\dfrac{∂}{∂ y})^mf(x_0,y_0)表示\displaystyle\sum_{p=0}^{m}∁_m^ph^pk^{m-p}\dfrac{∂ ^mf}{∂ x^p∂ y^{m-p}}\mid_{(x_0,y_0)}
( h ∂ x ∂ + k ∂ y ∂ ) m f ( x 0 , y 0 ) 表 示 p = 0 ∑ m ∁ m p h p k m − p ∂ x p ∂ y m − p ∂ m f ∣ ( x 0 , y 0 )
拉
格
朗
日
余
项
R
n
=
1
(
n
+
1
)
!
(
h
∂
∂
x
+
k
∂
∂
y
)
n
+
1
f
(
x
0
+
θ
h
,
y
0
+
θ
k
)
(
0
<
θ
<
1
)
拉格朗日余项R_n=\dfrac{1}{(n+1)!}(h\dfrac{∂}{∂ x}+k\dfrac{∂}{∂ y})^{n+1}f(x_0+θ h,y_0+θ k) \quad(0<θ<1)
拉 格 朗 日 余 项 R n = ( n + 1 ) ! 1 ( h ∂ x ∂ + k ∂ y ∂ ) n + 1 f ( x 0 + θ h , y 0 + θ k ) ( 0 < θ < 1 )
n
=
0
n=0
n = 0
引入意义
z
=
f
(
x
,
y
)
z=f(x,y)
z = f ( x , y )
V
=
lim
λ
→
0
∑
k
=
1
n
f
(
ξ
k
,
η
k
)
Δ
σ
k
V=\lim\limits_{λ\to0}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}f(ξ_k,η_k)Δ σ_k
V = λ → 0 lim k = 1 ∑ n f ( ξ k , η k ) Δ σ k
μ
=
μ
(
x
,
y
)
μ=μ(x,y)
μ = μ ( x , y )
m
=
lim
λ
→
0
∑
k
=
1
n
μ
(
ξ
k
,
η
k
)
Δ
σ
k
m=\lim\limits_{λ\to0}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}μ(ξ_k,η_k)Δ σ_k
m = λ → 0 lim k = 1 ∑ n μ ( ξ k , η k ) Δ σ k
定义 ：设
f
(
x
,
y
)
f(x,y)
f ( x , y )
D
D
D
Δ
σ
1
,
Δ
σ
2
,
⋯
,
Δ
σ
n
Δ σ_1,Δ σ_2,\cdots,Δ σ_n
Δ σ 1 , Δ σ 2 , ⋯ , Δ σ n
Δ
σ
i
Δ σ_i
Δ σ i
Δ
σ
i
Δ σ_i
Δ σ i
(
ξ
,
η
i
)
(ξ_,η_i)
( ξ , η i )
f
(
ξ
,
η
i
)
Δ
σ
i
(
i
=
1
,
2
,
⋯
,
n
)
f(ξ_,η_i)Δ σ_i(i=1,2,\cdots,n)
f ( ξ , η i ) Δ σ i ( i = 1 , 2 , ⋯ , n )
Ω
=
∑
i
=
1
n
f
(
ξ
,
η
i
)
Δ
σ
i
Ω=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}f(ξ_,η_i)Δ σ_i
Ω = i = 1 ∑ n f ( ξ , η i ) Δ σ i
λ
→
0
λ\to0
λ → 0
(
ξ
,
η
i
)
(ξ_,η_i)
( ξ , η i )
f
(
x
,
y
)
f(x,y)
f ( x , y )
D
D
D
∬
D
f
(
x
,
y
)
d
σ
=
lim
λ
→
0
∑
i
=
1
n
f
(
ξ
,
η
i
)
Δ
σ
i
\iint_Df(x,y)\mathrm{d}σ=\lim\limits_{λ\to0}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}f(ξ_,η_i)Δ σ_i
∬ D f ( x , y ) d σ = λ → 0 lim i = 1 ∑ n f ( ξ , η i ) Δ σ i
d
σ
\mathrm{d}σ
d σ
f
(
x
,
y
)
f(x,y)
f ( x , y )
d
σ
\mathrm{d}σ
d σ
d
x
d
y
\mathrm{d}x\mathrm{d}y
d x d y
∬
D
f
(
x
,
y
)
d
x
d
y
\iint_Df(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y
∬ D f ( x , y ) d x d y
二重积分的主要性质
∬
D
k
f
(
x
,
y
)
d
σ
=
k
∬
D
f
(
x
,
y
)
d
σ
\iint_Dkf(x,y)\mathrm{d}σ=k\iint_Df(x,y)\mathrm{d}σ
∬ D k f ( x , y ) d σ = k ∬ D f ( x , y ) d σ
∬
D
[
f
(
x
,
y
)
±
g
(
x
,
y
)
]
d
σ
=
∬
D
f
(
x
,
y
)
d
σ
±
∬
D
g
(
x
,
y
)
d
σ
\iint_D [f(x,y)± g(x,y)]\mathrm{d}σ=\iint_D f(x,y)\mathrm{d}σ ± \iint_D g(x,y)\mathrm{d}σ
∬ D [ f ( x , y ) ± g ( x , y ) ] d σ = ∬ D f ( x , y ) d σ ± ∬ D g ( x , y ) d σ
∬
d
f
(
x
,
y
)
d
σ
=
∬
d
1
f
(
x
,
y
)
d
σ
+
∬
d
1
f
(
x
,
y
)
d
σ
(
D
=
D
1
+
D
2
)
\iint_{d} f(x,y)\mathrm{d}σ=\iint_{d_1} f(x,y)\mathrm{d}σ + \iint_{d_1} f(x,y)\mathrm{d}σ\quad (D=D_1+D_2)
∬ d f ( x , y ) d σ = ∬ d 1 f ( x , y ) d σ + ∬ d 1 f ( x , y ) d σ ( D = D 1 + D 2 )
二重积分中值定理 ：
f
(
x
,
y
)
在
闭
区
域
D
上
连
续
,
σ
是
D
的
面
积
⇒
∃
(
ξ
,
η
i
)
∈
D
f(x,y)在闭区域D上连续,σ是D的面积\Rightarrow∃(ξ_,η_i)\in D
f ( x , y ) 在 闭 区 域 D 上 连 续 , σ 是 D 的 面 积 ⇒ ∃ ( ξ , η i ) ∈ D
∬
D
f
(
x
,
y
)
d
σ
=
f
(
ξ
,
η
i
)
σ
\iint_Df(x,y)\mathrm{d}σ=f(ξ_,η_i)σ
∬ D f ( x , y ) d σ = f ( ξ , η i ) σ
利用直角坐标计算二重积分
∬
D
f
(
x
,
y
)
d
σ
\iint_Df(x,y)\mathrm{d}σ
∬ D f ( x , y ) d σ
y
1
(
x
)
⩽
y
⩽
y
2
(
x
)
,
a
⩽
x
⩽
b
y_1(x)⩽ y ⩽ y_2(x),a⩽ x⩽ b
y 1 ( x ) ⩽ y ⩽ y 2 ( x ) , a ⩽ x ⩽ b
S
(
x
0
)
=
∫
y
1
(
x
0
)
y
2
(
x
0
)
f
(
x
0
,
y
)
d
y
S(x_0)=\int_{y_1(x_0)}^{y_2(x_0)}f(x_0,y)\mathrm{d}y
S ( x 0 ) = ∫ y 1 ( x 0 ) y 2 ( x 0 ) f ( x 0 , y ) d y
x
∈
[
a
,
b
]
x\in[a,b]
x ∈ [ a , b ]
V
=
∫
a
b
S
(
x
)
d
x
=
∫
a
b
[
∫
y
1
(
x
)
y
2
(
x
)
f
(
x
,
y
)
d
y
]
d
x
V=\int_a^bS(x)\mathrm{d}x=\int_a^b[\int_{y_1(x)}^{y_2(x)}f(x,y)\mathrm{d}y]\mathrm{d}x
V = ∫ a b S ( x ) d x = ∫ a b [ ∫ y 1 ( x ) y 2 ( x ) f ( x , y ) d y ] d x 二次积分 ，二次积分也常记作
∬
D
f
(
x
,
y
)
d
σ
=
∫
a
b
d
x
∫
y
1
(
x
)
y
2
(
x
)
f
(
x
,
y
)
d
y
\iint_Df(x,y)\mathrm{d}σ=\int_a^b \mathrm{d}x\int_{y_1(x)}^{y_2(x)}f(x,y)\mathrm{d}y
∬ D f ( x , y ) d σ = ∫ a b d x ∫ y 1 ( x ) y 2 ( x ) f ( x , y ) d y
x
1
(
y
)
⩽
x
⩽
x
2
(
y
)
,
a
⩽
y
⩽
b
x_1(y)⩽ x ⩽ x_2(y),a⩽ y⩽ b
x 1 ( y ) ⩽ x ⩽ x 2 ( y ) , a ⩽ y ⩽ b
∬
D
f
(
x
,
y
)
d
σ
=
∫
a
b
d
y
∫
x
1
(
y
)
x
2
(
y
)
f
(
x
,
y
)
d
x
\iint_Df(x,y)\mathrm{d}σ=\int_a^b \mathrm{d}y\int_{x_1(y)}^{x_2(y)}f(x,y)\mathrm{d}x
∬ D f ( x , y ) d σ = ∫ a b d y ∫ x 1 ( y ) x 2 ( y ) f ( x , y ) d x
利用极坐标计算二重积分
Δ
σ
i
=
1
2
(
ρ
i
+
Δ
ρ
i
)
2
⋅
Δ
θ
i
=
ρ
i
ˉ
⋅
Δ
ρ
i
⋅
Δ
θ
i
Δσ_i=\dfrac{1}{2}(ρ_i+Δρ_i)^2\cdotΔθ_i=\bar{ρ_i}\cdotΔρ_i\cdotΔθ_i
Δ σ i = 2 1 ( ρ i + Δ ρ i ) 2 ⋅ Δ θ i = ρ i ˉ ⋅ Δ ρ i ⋅ Δ θ i
ρ
i
ˉ
\bar{ρ_i}
ρ i ˉ
∬
D
f
(
x
,
y
)
d
x
d
y
=
∬
D
f
(
ρ
cos
θ
,
ρ
sin
θ
)
ρ
d
ρ
d
θ
\iint_Df(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\iint_Df(ρ\cosθ,ρ\sinθ)ρ \mathrm{d}ρ \mathrm{d}θ
∬ D f ( x , y ) d x d y = ∬ D f ( ρ cos θ , ρ sin θ ) ρ d ρ d θ
ρ
d
ρ
d
θ
ρ \mathrm{d}ρ \mathrm{d}θ
ρ d ρ d θ
ρ
1
(
θ
)
⩽
ρ
⩽
ρ
2
(
θ
)
,
α
⩽
θ
⩽
β
ρ_1(θ)⩽ ρ ⩽ ρ_2(θ),α⩽θ⩽ β
ρ 1 ( θ ) ⩽ ρ ⩽ ρ 2 ( θ ) , α ⩽ θ ⩽ β
∬
D
f
(
ρ
cos
θ
,
ρ
sin
θ
)
ρ
d
ρ
d
θ
=
∫
α
β
d
θ
∫
ρ
1
(
θ
)
ρ
2
(
θ
)
f
(
ρ
cos
θ
,
ρ
sin
θ
)
ρ
d
ρ
\iint_Df(ρ\cosθ,ρ\sinθ)ρ \mathrm{d}ρ \mathrm{d}θ =\int_α^β \mathrm{d}θ\int_{ρ_1(θ)}^{ρ_2(θ)}f(ρ\cosθ,ρ\sinθ)ρ \mathrm{d}ρ
∬ D f ( ρ cos θ , ρ sin θ ) ρ d ρ d θ = ∫ α β d θ ∫ ρ 1 ( θ ) ρ 2 ( θ ) f ( ρ cos θ , ρ sin θ ) ρ d ρ
f
(
x
,
y
)
=
1
f(x,y)=1
f ( x , y ) = 1
d
σ
=
ρ
d
ρ
d
θ
\mathrm{d}σ=ρ \mathrm{d}ρ \mathrm{d}θ
d σ = ρ d ρ d θ
σ
=
∬
d
ρ
d
ρ
d
θ
=
1
2
∫
α
β
[
ρ
2
2
(
θ
)
−
ρ
1
2
(
θ
)
]
d
θ
σ=\iint_\mathrm{d}ρ \mathrm{d}ρ \mathrm{d}θ=\dfrac{1}{2}\int_α^β[ρ_2^2(θ)-ρ_1^2(θ)] \mathrm{d}θ
σ = ∬ d ρ d ρ d θ = 2 1 ∫ α β [ ρ 2 2 ( θ ) − ρ 1 2 ( θ ) ] d θ
二重积分的换元法
f
(
x
,
y
)
f(x,y)
f ( x , y )
x
O
y
xOy
x O y
D
D
D
T
:
x
=
x
(
u
,
v
)
,
y
=
y
(
u
,
v
)
T:x=x(u,v),y=y(u,v)
T : x = x ( u , v ) , y = y ( u , v )
u
O
v
uOv
u O v
D
′
D'
D ′
x
O
y
xOy
x O y
D
D
D
x
(
u
,
v
)
,
y
(
u
,
v
)
在
D
′
x(u,v),y(u,v)在D'
x ( u , v ) , y ( u , v ) 在 D ′
D
′
D'
D ′
det
J
(
u
,
v
)
=
det
∂
(
x
,
y
)
∂
(
u
,
v
)
≠
0
\det J(u,v)=\det\dfrac{∂(x,y)}{∂(u,v)}\neq0
det J ( u , v ) = det ∂ ( u , v ) ∂ ( x , y ) = 0
T
:
D
′
→
D
T:D'\to D
T : D ′ → D
∬
D
f
(
x
,
y
)
d
x
d
y
=
∬
d
′
f
[
x
(
u
,
v
)
,
y
(
u
,
v
)
]
∣
J
(
u
,
v
)
∣
d
u
d
v
\iint_Df(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\iint_{d'}f[x(u,v),y(u,v)]\ |J(u,v)|\ \mathrm{d}u\mathrm{d}v
∬ D f ( x , y ) d x d y = ∬ d ′ f [ x ( u , v ) , y ( u , v ) ] ∣ J ( u , v ) ∣ d u d v
(1) 定积分和二重积分作为和的极限的概念自然推广到三重积分
∭
Ω
f
(
x
,
y
,
z
)
d
v
=
lim
λ
→
0
∑
i
=
1
n
f
(
ξ
,
η
i
,
ζ
i
)
Δ
v
i
\iiint_{Ω}f(x,y,z)\mathrm{d}v=\lim\limits_{λ\to0}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}f(ξ_,η_i,ζ_i)Δ v_i
∭ Ω f ( x , y , z ) d v = λ → 0 lim i = 1 ∑ n f ( ξ , η i , ζ i ) Δ v i
f
(
x
,
y
,
z
)
f(x,y,z)
f ( x , y , z )
Ω
Ω
Ω
d
v
\mathrm{d}v
d v
d
v
\mathrm{d}v
d v
d
x
d
y
d
z
\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z
d x d y d z
∭
Ω
f
(
x
,
y
,
z
)
d
x
d
y
d
z
\iiint_{Ω}f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z
∭ Ω f ( x , y , z ) d x d y d z
利用直角坐标进行三重积分
z
z
z
Ω
Ω
Ω
S
S
S
Ω
Ω
Ω
x
O
y
xOy
x O y
D
x
y
D_{xy}
D x y
S
1
:
z
=
z
1
(
x
,
y
)
S
2
:
z
=
z
2
(
x
,
y
)
\begin{aligned}S_1:z=z_1(x,y)\\ S_2:z=z_2(x,y)\end{aligned}
S 1 : z = z 1 ( x , y ) S 2 : z = z 2 ( x , y )
Ω
=
{
(
x
,
y
,
z
)
∣
z
1
(
x
,
y
)
⩽
z
⩽
z
2
(
x
,
y
)
,
(
x
,
y
)
∈
D
x
y
}
Ω=\{(x,y,z)|z_1(x,y)⩽ z⩽ z_2(x,y),(x,y)\in D_{xy}\}
Ω = { ( x , y , z ) ∣ z 1 ( x , y ) ⩽ z ⩽ z 2 ( x , y ) , ( x , y ) ∈ D x y }
D
x
y
=
{
(
x
,
y
)
∣
y
1
(
x
)
⩽
y
⩽
y
2
(
x
)
,
a
⩽
x
⩽
b
}
D_{xy}=\{(x,y)|y_1(x)⩽ y⩽ y_2(x),a⩽ x⩽ b\}
D x y = { ( x , y ) ∣ y 1 ( x ) ⩽ y ⩽ y 2 ( x ) , a ⩽ x ⩽ b } 三次积分
∭
Ω
f
(
x
,
y
,
z
)
d
v
=
∫
a
b
d
x
∫
y
1
(
x
)
y
2
(
x
)
d
y
∫
z
1
(
x
,
y
)
z
2
(
x
,
y
)
f
(
x
,
y
,
z
)
d
z
\iiint_{Ω}f(x,y,z)\mathrm{d}v=\int_a^b\mathrm{d}x\int_{y_1(x)}^{y_2(x)}\mathrm{d}y\int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)\mathrm{d}z
∭ Ω f ( x , y , z ) d v = ∫ a b d x ∫ y 1 ( x ) y 2 ( x ) d y ∫ z 1 ( x , y ) z 2 ( x , y ) f ( x , y , z ) d z
x
O
z
xOz
x O z
y
O
z
yOz
y O z
Ω
Ω
Ω
S
S
S
利用柱面坐标进行三重积分 ：体积元素
d
v
=
ρ
d
ρ
d
θ
d
z
\mathrm{d}v=ρ \mathrm{d}ρ \mathrm{d}θ \mathrm{d}z
d v = ρ d ρ d θ d z
∭
Ω
f
(
x
,
y
,
z
)
d
x
d
y
d
z
=
∭
Ω
f
(
ρ
cos
θ
,
ρ
cos
θ
,
z
)
ρ
d
ρ
d
θ
d
z
\iiint_{Ω}f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\iiint_{Ω}f(ρ\cosθ,ρ\cosθ,z)ρ \mathrm{d}ρ \mathrm{d}θ \mathrm{d}z
∭ Ω f ( x , y , z ) d x d y d z = ∭ Ω f ( ρ cos θ , ρ cos θ , z ) ρ d ρ d θ d z
利用球面坐标进行三重积分 ：体积元素
d
v
=
r
2
sin
ϕ
d
r
d
ϕ
d
θ
\mathrm{d}v=r^2\sinϕ \mathrm{d}r \mathrm{d}ϕ \mathrm{d}θ
d v = r 2 sin ϕ d r d ϕ d θ
∭
Ω
f
(
x
,
y
,
z
)
d
x
d
y
d
z
=
∭
Ω
f
(
r
sin
ϕ
cos
θ
,
r
sin
ϕ
sin
θ
,
r
cos
ϕ
)
r
2
sin
ϕ
d
r
d
ϕ
d
θ
\iiint_{Ω}f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\iiint_{Ω}f(r\sinϕ\cosθ,r\sinϕ\sinθ,r\cosϕ)r^2\sinϕ \mathrm{d}r \mathrm{d}ϕ \mathrm{d}θ
∭ Ω f ( x , y , z ) d x d y d z = ∭ Ω f ( r sin ϕ cos θ , r sin ϕ sin θ , r cos ϕ ) r 2 sin ϕ d r d ϕ d θ
曲面的面积 ：
z
=
f
(
x
,
y
)
z=f(x,y)
z = f ( x , y )
d
A
=
d
σ
cos
γ
,
cos
γ
=
1
1
+
f
x
2
(
x
,
y
)
+
f
y
2
(
x
,
y
)
\mathrm{d}A=\dfrac{\mathrm{d}σ}{\cosγ},\cosγ=\dfrac{1}{\sqrt{1+f_x^2(x,y)+f_y^2(x,y)}}
d A = cos γ d σ , cos γ = 1 + f x 2 ( x , y ) + f y 2 ( x , y )
1
A
=
∬
D
1
+
f
x
2
(
x
,
y
)
+
f
y
2
(
x
,
y
)
d
x
d
y
A=\iint_D\sqrt{1+f_x^2(x,y)+f_y^2(x,y)}\mathrm{d}x\mathrm{d}y
A = ∬ D 1 + f x 2 ( x , y ) + f y 2 ( x , y )
d x d y
{
x
=
x
(
u
,
v
)
y
=
y
(
u
,
v
)
z
=
z
(
u
,
v
)
(
u
,
v
)
∈
D
\begin{cases}x=x(u,v)\\y=y(u,v)\\z=z(u,v) \end{cases}\quad (u,v)\in D
⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ x = x ( u , v ) y = y ( u , v ) z = z ( u , v ) ( u , v ) ∈ D
det
∂
(
x
,
y
)
∂
(
u
,
v
)
⋅
det
∂
(
x
,
z
)
∂
(
u
,
v
)
⋅
det
∂
(
y
,
z
)
∂
(
u
,
v
)
≠
0
\det\dfrac{∂(x,y)}{∂(u,v)}\cdot\det\dfrac{∂(x,z)}{∂(u,v)}\cdot\det\dfrac{∂(y,z)}{∂(u,v)}\neq0
det ∂ ( u , v ) ∂ ( x , y ) ⋅ det ∂ ( u , v ) ∂ ( x , z ) ⋅ det ∂ ( u , v ) ∂ ( y , z ) = 0
A
=
∬
D
E
G
−
F
2
d
u
d
v
A=\iint_D\sqrt{EG-F^2}\mathrm{d}u\mathrm{d}v
A = ∬ D E G − F 2
d u d v
E
=
x
u
2
+
y
u
2
+
z
u
2
,
F
=
x
u
x
v
+
y
u
y
v
+
z
u
z
v
,
G
=
x
v
2
+
y
v
2
+
z
v
2
E=x_u^2+y_u^2+z_u^2,F=x_ux_v+y_uy_v+z_uz_v,G=x_v^2+y_v^2+z_v^2
E = x u 2 + y u 2 + z u 2 , F = x u x v + y u y v + z u z v , G = x v 2 + y v 2 + z v 2 质心 ：占有空间区域
Ω
Ω
Ω
r
=
(
x
,
y
,
z
)
\mathbf r=(x,y,z)
r = ( x , y , z )
ρ
(
r
)
=
ρ
(
x
,
y
,
z
)
ρ(\mathbf r)=ρ(x,y,z)
ρ ( r ) = ρ ( x , y , z )
(
x
ˉ
,
y
ˉ
,
z
ˉ
)
=
1
M
∭
Ω
r
ρ
(
r
)
d
v
,
M
=
∭
Ω
ρ
(
r
)
d
v
\displaystyle (\bar x,\bar y,\bar z)=\dfrac{1}{M}\iiint_{Ω}\mathbf rρ(\mathbf r)\mathrm{d}v,M=\iiint_{Ω}ρ(\mathbf r)\mathrm{d}v
( x ˉ , y ˉ , z ˉ ) = M 1 ∭ Ω r ρ ( r ) d v , M = ∭ Ω ρ ( r ) d v
设函数
f
(
x
,
y
)
f(x,y)
f ( x , y )
R
=
[
a
,
b
]
×
[
c
,
d
]
R=[a,b]×[c,d]
R = [ a , b ] × [ c , d ]
ϕ
(
x
)
=
∫
c
d
f
(
x
,
y
)
d
y
(
0
⩽
x
⩽
b
)
ϕ(x)=\int_c^df(x,y)\mathrm{d}y\quad(0⩽ x⩽ b)
ϕ ( x ) = ∫ c d f ( x , y ) d y ( 0 ⩽ x ⩽ b )
∫
a
b
d
x
∫
c
d
f
(
x
,
y
)
d
y
=
∫
c
d
d
y
∫
a
b
f
(
x
,
y
)
d
x
\int_a^b\mathrm{d}x\int_c^df(x,y)\mathrm{d}y=\int_c^\mathrm{d}\mathrm{d}y\int_a^bf(x,y)\mathrm{d}x
∫ a b d x ∫ c d f ( x , y ) d y = ∫ c d d y ∫ a b f ( x , y ) d x
ϕ
′
(
x
)
=
∫
c
d
f
x
(
x
,
y
)
d
y
ϕ'(x)=\int_c^df_x(x,y)\mathrm{d}y
ϕ ′ ( x ) = ∫ c d f x ( x , y ) d y
引入意义
μ
=
μ
(
x
,
y
,
z
)
μ=μ(x,y,z)
μ = μ ( x , y , z )
L
L
L
m
=
lim
λ
→
0
∑
k
=
1
n
μ
(
ξ
k
,
η
k
,
ζ
k
)
Δ
s
k
m=\lim\limits_{λ\to0}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}μ(ξ_k,η_k,ζ_k)Δ s_k
m = λ → 0 lim k = 1 ∑ n μ ( ξ k , η k , ζ k ) Δ s k 概念 ：设L为
x
O
y
xOy
x O y
∫
L
f
(
x
,
y
)
d
s
=
lim
λ
→
0
∑
i
=
1
n
f
(
ξ
,
η
i
)
Δ
s
i
\int_Lf(x,y)\mathrm{d}s=\lim\limits_{λ\to0}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}f(ξ_,η_i)Δ s_i
∫ L f ( x , y ) d s = λ → 0 lim i = 1 ∑ n f ( ξ , η i ) Δ s i
f
(
x
,
y
)
f(x,y)
f ( x , y )
L
L
L
f
(
x
,
y
,
z
)
f(x,y,z)
f ( x , y , z )
Γ
Γ
Γ
∫
Γ
f
(
x
,
y
)
d
s
=
lim
λ
→
0
∑
i
=
1
n
f
(
ξ
,
η
i
,
ζ
i
)
Δ
s
i
\int_{Γ}f(x,y)\mathrm{d}s=\lim\limits_{λ\to0}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}f(ξ_,η_i,ζ_i)Δ s_i
∫ Γ f ( x , y ) d s = λ → 0 lim i = 1 ∑ n f ( ξ , η i , ζ i ) Δ s i
L
L
L
∮
L
f
(
x
,
y
)
d
s
\oint_Lf(x,y)\mathrm{d}s
∮ L f ( x , y ) d s
对弧长曲线积分的部分性质
∫
L
k
f
(
x
,
y
)
d
s
=
k
∫
L
f
(
x
,
y
)
d
s
\int_Lkf(x,y)\mathrm{d}s=k\int_Lf(x,y)\mathrm{d}s
∫ L k f ( x , y ) d s = k ∫ L f ( x , y ) d s
∫
L
[
f
(
x
,
y
)
±
g
(
x
,
y
)
]
d
s
=
∫
L
f
(
x
,
y
)
d
s
±
∫
L
g
(
x
,
y
)
d
s
\int_L [f(x,y)± g(x,y)]\mathrm{d}s=\int_L f(x,y)\mathrm{d}s ± \int_L g(x,y)\mathrm{d}s
∫ L [ f ( x , y ) ± g ( x , y ) ] d s = ∫ L f ( x , y ) d s ± ∫ L g ( x , y ) d s
∫
L
1
+
L
2
f
(
x
,
y
)
d
s
=
∫
L
1
f
(
x
,
y
)
d
s
+
∫
L
2
f
(
x
,
y
)
d
s
\int_{L_1+L_2}f(x,y)\mathrm{d}s=\int_{L_1}f(x,y)\mathrm{d}s+\int_{L_2}f(x,y)\mathrm{d}s
∫ L 1 + L 2 f ( x , y ) d s = ∫ L 1 f ( x , y ) d s + ∫ L 2 f ( x , y ) d s
对弧长曲线积分的计算方法
f
(
x
,
y
)
f(x,y)
f ( x , y )
{
x
=
ϕ
(
t
)
y
=
ψ
(
t
)
t
∈
[
α
,
β
]
\begin{cases}x=ϕ(t)\\y=ψ(t)\end{cases}\quad t\in[α,β]
{ x = ϕ ( t ) y = ψ ( t ) t ∈ [ α , β ]
ϕ
′
2
(
t
)
+
ψ
′
2
(
t
)
≠
0
ϕ^{'2}(t)+ψ^{'2}(t)\neq0
ϕ ′ 2 ( t ) + ψ ′ 2 ( t ) = 0
∫
L
f
(
x
,
y
)
d
s
=
∫
α
β
f
[
ϕ
(
t
)
,
ψ
(
t
)
]
ϕ
′
2
(
t
)
+
ψ
′
2
(
t
)
d
t
,
α
<
β
\int_Lf(x,y)\mathrm{d}s=\int_{α}^{β}f[ϕ(t),ψ(t)]\sqrt{ϕ^{'2}(t)+ψ^{'2}(t)}\mathrm{d}t,\ α<β
∫ L f ( x , y ) d s = ∫ α β f [ ϕ ( t ) , ψ ( t ) ] ϕ ′ 2 ( t ) + ψ ′ 2 ( t )
d t , α < β
引入意义 ：变力
F
=
P
(
x
,
y
,
z
)
i
+
Q
(
x
,
y
,
z
)
j
+
R
(
x
,
y
,
z
)
k
\mathbf F=P(x,y,z)\mathbf i+Q(x,y,z)\mathbf j +R(x,y,z)\mathbf k
F = P ( x , y , z ) i + Q ( x , y , z ) j + R ( x , y , z ) k
L
L
L
Δ
W
k
=
F
(
ξ
k
,
η
k
,
ζ
k
)
⋅
P
k
−
1
P
k
→
=
P
(
ξ
k
,
η
k
,
ζ
k
)
Δ
x
k
+
Q
(
ξ
k
,
η
k
,
ζ
k
)
Δ
y
k
+
R
(
ξ
k
,
η
k
,
ζ
k
)
Δ
z
k
Δ W_k=\mathbf F(ξ_k,η_k,ζ_k)\cdot \overrightarrow{P_{k-1}P_k}=P(ξ_k,η_k,ζ_k)Δ x_k+Q(ξ_k,η_k,ζ_k)Δ y_k+R(ξ_k,η_k,ζ_k)Δ z_k
Δ W k = F ( ξ k , η k , ζ k ) ⋅ P k − 1 P k
= P ( ξ k , η k , ζ k ) Δ x k + Q ( ξ k , η k , ζ k ) Δ y k + R ( ξ k , η k , ζ k ) Δ z k
W
=
∑
k
=
1
n
Δ
W
k
=
lim
λ
→
0
∑
k
=
1
n
[
P
(
ξ
k
,
η
k
,
ζ
k
)
Δ
x
k
+
Q
(
ξ
k
,
η
k
,
ζ
k
)
Δ
y
k
+
R
(
ξ
k
,
η
k
,
ζ
k
)
Δ
z
k
]
W=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}Δ W_k=\lim\limits_{λ\to0}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}[P(ξ_k,η_k,ζ_k)Δ x_k+Q(ξ_k,η_k,ζ_k)Δ y_k+R(ξ_k,η_k,ζ_k)Δ z_k]
W = k = 1 ∑ n Δ W k = λ → 0 lim k = 1 ∑ n [ P ( ξ k , η k , ζ k ) Δ x k + Q ( ξ k , η k , ζ k ) Δ y k + R ( ξ k , η k , ζ k ) Δ z k ]
概念 ：设L为
x
O
y
xOy
x O y
∫
L
P
(
x
,
y
)
d
x
=
lim
λ
→
0
∑
i
=
1
n
f
(
ξ
,
η
i
)
Δ
x
i
∫
L
Q
(
x
,
y
)
d
y
=
lim
λ
→
0
∑
i
=
1
n
f
(
ξ
,
η
i
)
Δ
y
i
\int_LP(x,y)\mathrm{d}x=\lim\limits_{λ\to0}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}f(ξ_,η_i)Δ x_i \\ \int_LQ(x,y)\mathrm{d}y=\lim\limits_{λ\to0}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}f(ξ_,η_i)Δ y_i
∫ L P ( x , y ) d x = λ → 0 lim i = 1 ∑ n f ( ξ , η i ) Δ x i ∫ L Q ( x , y ) d y = λ → 0 lim i = 1 ∑ n f ( ξ , η i ) Δ y i
P
(
x
,
y
)
,
Q
(
x
,
y
)
P(x,y),Q(x,y)
P ( x , y ) , Q ( x , y )
L
L
L
f
(
x
,
y
,
z
)
f(x,y,z)
f ( x , y , z )
Γ
Γ
Γ
∫
L
P
(
x
,
y
)
d
x
+
∫
L
Q
(
x
,
y
)
d
y
\int_LP(x,y)\mathrm{d}x+\int_LQ(x,y)\mathrm{d}y
∫ L P ( x , y ) d x + ∫ L Q ( x , y ) d y
∫
L
P
(
x
,
y
)
d
x
+
Q
(
x
,
y
)
d
y
\int_LP(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y
∫ L P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y 向量形式
∫
L
F
(
x
,
y
)
⋅
d
r
\int_L\mathbf F(x,y)\cdot \mathrm{d}\mathbf r
∫ L F ( x , y ) ⋅ d r
F
(
x
,
y
)
=
P
(
x
,
y
)
i
+
Q
(
x
,
y
)
j
,
r
=
d
x
i
+
d
y
j
\mathbf F(x,y)=P(x,y)\mathbf i+Q(x,y)\mathbf j,\mathbf r=\mathrm{d}x\mathbf i+\mathrm{d}y\mathbf j
F ( x , y ) = P ( x , y ) i + Q ( x , y ) j , r = d x i + d y j
对坐标曲线积分的部分性质
∫
L
k
F
(
x
,
y
)
⋅
d
r
=
k
∫
L
F
(
x
,
y
)
⋅
d
r
\int_Lk\mathbf F(x,y)\cdot \mathrm{d}\mathbf r=k\int_L\mathbf F(x,y)\cdot \mathrm{d}\mathbf r
∫ L k F ( x , y ) ⋅ d r = k ∫ L F ( x , y ) ⋅ d r
∫
L
[
F
1
(
x
,
y
)
±
F
2
(
x
,
y
)
]
⋅
d
r
=
∫
L
F
1
(
x
,
y
)
⋅
d
r
±
∫
L
F
2
(
x
,
y
)
⋅
d
r
\int_L [\mathbf F_1(x,y)± \mathbf F_2(x,y)]\cdot \mathrm{d}\mathbf r=\int_L \mathbf F_1(x,y)\cdot \mathrm{d}\mathbf r ± \int_L \mathbf F_2(x,y)\cdot \mathrm{d}\mathbf r
∫ L [ F 1 ( x , y ) ± F 2 ( x , y ) ] ⋅ d r = ∫ L F 1 ( x , y ) ⋅ d r ± ∫ L F 2 ( x , y ) ⋅ d r
∫
L
1
+
L
2
F
(
x
,
y
)
⋅
d
r
=
∫
L
1
F
(
x
,
y
)
⋅
d
r
+
∫
L
2
F
(
x
,
y
)
⋅
d
r
\int_{L_1+L_2}\mathbf F(x,y)\cdot \mathrm{d}\mathbf r=\int_{L_1}\mathbf F(x,y)\cdot \mathrm{d}\mathbf r+\int_{L_2}\mathbf F(x,y)\cdot \mathrm{d}\mathbf r
∫ L 1 + L 2 F ( x , y ) ⋅ d r = ∫ L 1 F ( x , y ) ⋅ d r + ∫ L 2 F ( x , y ) ⋅ d r
∫
L
−
F
(
x
,
y
)
⋅
d
r
=
−
∫
L
F
(
x
,
y
)
⋅
d
r
\int_{L^-}\mathbf F(x,y)\cdot \mathrm{d}\mathbf r=-\int_L\mathbf F(x,y)\cdot \mathrm{d}\mathbf r
∫ L − F ( x , y ) ⋅ d r = − ∫ L F ( x , y ) ⋅ d r
L
−
L^-
L −
L
L
L
对坐标曲线积分的计算方法
P
(
x
,
y
)
,
Q
(
x
,
y
)
P(x,y),Q(x,y)
P ( x , y ) , Q ( x , y )
{
x
=
ϕ
(
t
)
y
=
ψ
(
t
)
\begin{cases}x=ϕ(t)\\y=ψ(t)\end{cases}
{ x = ϕ ( t ) y = ψ ( t )
α
α
α
β
β
β
M
(
x
,
y
)
M(x,y)
M ( x , y )
ϕ
′
2
(
t
)
+
ψ
′
2
(
t
)
≠
0
ϕ^{'2}(t)+ψ^{'2}(t)\neq0
ϕ ′ 2 ( t ) + ψ ′ 2 ( t ) = 0
∫
L
P
(
x
,
y
)
d
x
+
Q
(
x
,
y
)
d
y
=
∫
α
β
{
P
[
ϕ
(
t
)
,
ψ
(
t
)
]
ϕ
′
(
t
)
+
Q
[
ϕ
(
t
)
,
ψ
(
t
)
]
ψ
′
(
t
)
}
d
t
\int_LP(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y=\int_{α}^{β}\{P[ϕ(t),ψ(t)]ϕ'(t)+Q[ϕ(t),ψ(t)]ψ'(t)\}\mathrm{d}t
∫ L P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y = ∫ α β { P [ ϕ ( t ) , ψ ( t ) ] ϕ ′ ( t ) + Q [ ϕ ( t ) , ψ ( t ) ] ψ ′ ( t ) } d t
两类曲线积分之间的联系
Γ
Γ
Γ
∫
Γ
P
d
x
+
Q
d
y
+
R
d
z
=
∫
Γ
(
P
cos
α
+
Q
cos
β
+
R
cos
γ
)
d
s
\int_{Γ}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z=\int_{Γ}(P\cosα+Q\cosβ+R\cosγ) \mathrm{d}s
∫ Γ P d x + Q d y + R d z = ∫ Γ ( P cos α + Q cos β + R cos γ ) d s
α
(
x
,
y
,
z
)
,
β
(
x
,
y
,
z
)
,
γ
(
x
,
y
,
z
)
α(x,y,z),β(x,y,z),γ(x,y,z)
α ( x , y , z ) , β ( x , y , z ) , γ ( x , y , z )
Γ
Γ
Γ
(
x
,
y
,
z
)
(x,y,z)
( x , y , z )
∫
Γ
A
⋅
d
r
=
∫
Γ
A
⋅
τ
d
s
\int_{Γ}\mathbf A\cdot \mathrm{d}\mathbf r=\int_{Γ}\mathbf A\cdot \mathbfτ \mathrm{d}s
∫ Γ A ⋅ d r = ∫ Γ A ⋅ τ d s
A
=
(
P
,
Q
,
R
)
,
τ
=
(
cos
α
,
cos
β
,
cos
γ
)
\mathbf A=(P,Q,R),\mathbfτ=(\cosα,\cosβ,\cosγ)
A = ( P , Q , R ) , τ = ( cos α , cos β , cos γ )
d
r
=
τ
d
s
=
(
d
x
,
d
y
,
d
z
)
\mathrm{d}\mathbf r=\mathbfτ \mathrm{d}s=(\mathrm{d}x,\mathrm{d}y,\mathrm{d}z)
d r = τ d s = ( d x , d y , d z )
平面闭区域D的一些概念
L
L
L
l
l
l
格林公式
∬
D
(
∂
Q
∂
x
−
∂
P
∂
y
)
d
x
d
y
=
∮
L
P
d
x
+
Q
d
y
\iint_D(\dfrac{∂ Q}{∂ x}-\dfrac{∂ P}{∂ y})\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\oint_LP\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y
∬ D ( ∂ x ∂ Q − ∂ y ∂ P ) d x d y = ∮ L P d x + Q d y
平面上曲线积分与积分路径无关的条件
P
(
x
,
y
)
,
Q
(
x
,
y
)
P(x,y),Q(x,y)
P ( x , y ) , Q ( x , y ) 连续偏导数 ，L为G内任意闭曲线，则下面的四种说法等价
u
(
x
,
y
)
,
使
d
u
=
P
d
x
+
Q
d
y
,
(
x
,
y
)
∈
D
u(x,y),使\mathrm{d}u=P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y,(x,y)\in D
u ( x , y ) , 使 d u = P d x + Q d y , ( x , y ) ∈ D
∂
Q
∂
x
=
∂
P
∂
y
\dfrac{∂ Q}{∂ x}=\dfrac{∂ P}{∂ y}
∂ x ∂ Q = ∂ y ∂ P
L
,
均
有
∮
L
P
d
x
+
Q
d
y
=
0
L,均有\oint_LP\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y=0
L , 均 有 ∮ L P d x + Q d y = 0
L
1
+
L
2
−
L_1+L_2^-
L 1 + L 2 −
∫
L
A
B
P
d
x
+
Q
d
y
\int_{L_AB}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y
∫ L A B P d x + Q d y
L
A
B
L_{AB}
L A B 奇点 （破坏函数
P
,
Q
,
∂
Q
∂
x
,
∂
P
∂
y
P,Q,\dfrac{∂ Q}{∂ x},\dfrac{∂ P}{∂ y}
P , Q , ∂ x ∂ Q , ∂ y ∂ P
曲线积分的基本定理
F
(
x
,
y
)
=
P
(
x
,
y
)
i
+
Q
(
x
,
y
)
j
\mathbf F(x,y)=P(x,y)\mathbf i+Q(x,y)\mathbf j
F ( x , y ) = P ( x , y ) i + Q ( x , y ) j
P
,
Q
P,Q
P , Q
f
(
x
,
y
)
f(x,y)
f ( x , y )
F
=
∇
f
\mathbf F=∇ f
F = ∇ f
∫
L
F
⋅
d
r
\int_L\mathbf F\cdot \mathrm{d}\mathbf r
∫ L F ⋅ d r
∫
L
F
⋅
d
r
=
f
(
B
)
−
f
(
A
)
\int_L\mathbf F\cdot \mathrm{d}\mathbf r=f(B)-f(A)
∫ L F ⋅ d r = f ( B ) − f ( A )
引入意义
μ
=
μ
(
x
,
y
,
z
)
μ=μ(x,y,z)
μ = μ ( x , y , z )
m
=
lim
λ
→
0
∑
i
=
1
n
μ
(
ξ
,
η
i
,
ζ
i
)
Δ
S
i
m=\lim\limits_{λ\to0}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}μ(ξ_,η_i,ζ_i)Δ S_i
m = λ → 0 lim i = 1 ∑ n μ ( ξ , η i , ζ i ) Δ S i
概念 ：设曲面
Σ
Σ
Σ
f
(
x
,
y
,
z
)
在
Σ
f(x,y,z)在Σ
f ( x , y , z ) 在 Σ
∬
Σ
f
(
x
,
y
,
z
)
d
s
=
lim
λ
→
0
∑
i
=
1
n
f
(
ξ
,
η
i
,
ζ
i
)
Δ
S
i
\iint_{Σ}f(x,y,z)\mathrm{d}s=\lim\limits_{λ\to0}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}f(ξ_,η_i,ζ_i)Δ S_i
∬ Σ f ( x , y , z ) d s = λ → 0 lim i = 1 ∑ n f ( ξ , η i , ζ i ) Δ S i
f
(
x
,
y
,
z
)
f(x,y,z)
f ( x , y , z )
Σ
Σ
Σ
对面积的曲面积分的计算法 ：设积分曲面
Σ
Σ
Σ
z
=
z
(
x
,
y
)
z=z(x,y)
z = z ( x , y )
Σ
在
x
O
y
Σ在xOy
Σ 在 x O y
D
x
y
D_{xy}
D x y
∬
Σ
f
(
x
,
y
,
z
)
d
s
=
∬
d
x
y
f
(
x
,
y
,
z
(
x
,
y
)
)
1
+
z
x
2
(
x
,
y
)
+
z
y
2
(
x
,
y
)
d
x
d
y
\iint_{Σ}f(x,y,z)\mathrm{d}s=\iint_{d_{xy}}f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+z_x^2(x,y)+z_y^2(x,y)} \mathrm{d}x\mathrm{d}y
∬ Σ f ( x , y , z ) d s = ∬ d x y f ( x , y , z ( x , y ) ) 1 + z x 2 ( x , y ) + z y 2 ( x , y )
d x d y
Σ
由
方
程
x
=
x
(
y
,
z
)
或
y
=
y
(
x
,
z
)
Σ由方程x=x(y,z)或y=y(x,z)
Σ 由 方 程 x = x ( y , z ) 或 y = y ( x , z )
(
⋆
)
(\star)
( ⋆ )
∯
\oiint
∬
有向曲面
Σ
Σ
Σ ：通常我们遇到的曲面都是双侧的，有上侧和下侧，闭合曲面有外侧和内侧之分，我们取曲面法向量的方向确定曲面的方向 ，若曲面的法向量
n
\mathbf n
n
引入意义
v
(
x
,
y
,
z
)
=
P
(
x
,
y
,
z
)
i
+
Q
(
x
,
y
,
z
)
j
+
R
(
x
,
y
,
z
)
k
\mathbf v(x,y,z)=P(x,y,z)\mathbf i+Q(x,y,z)\mathbf j+R(x,y,z)\mathbf k
v ( x , y , z ) = P ( x , y , z ) i + Q ( x , y , z ) j + R ( x , y , z ) k
Σ
Σ
Σ
Φ
Φ
Φ
Σ
Σ
Σ
Δ
S
i
Δ S_i
Δ S i
n
i
=
cos
α
i
i
+
cos
β
i
j
+
cos
γ
i
j
\mathbf n_i=\cosα_i\mathbf i+\cosβ_i\mathbf j+\cosγ_i\mathbf j
n i = cos α i i + cos β i j + cos γ i j
Δ
Φ
i
=
v
i
⋅
n
i
Δ
S
i
ΔΦ_i=\mathbf v_i\cdot\mathbf n_iΔ S_i
Δ Φ i = v i ⋅ n i Δ S i
Φ
=
∑
i
=
1
n
Δ
Φ
i
=
lim
λ
→
0
∑
i
=
1
n
[
P
(
ξ
i
,
η
i
,
ζ
i
)
cos
α
i
+
Q
(
ξ
i
,
η
i
,
ζ
i
)
cos
β
i
+
R
(
ξ
i
,
η
i
,
ζ
i
)
cos
γ
i
]
Δ
S
i
Φ=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}Δ Φ_i=\lim\limits_{λ\to0}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}[P(ξ_i,η_i,ζ_i)\cosα_i+Q(ξ_i,η_i,ζ_i)\cosβ_i+R(ξ_i,η_i,ζ_i)\cosγ_i]Δ S_i
Φ = i = 1 ∑ n Δ Φ i = λ → 0 lim i = 1 ∑ n [ P ( ξ i , η i , ζ i ) cos α i + Q ( ξ i , η i , ζ i ) cos β i + R ( ξ i , η i , ζ i ) cos γ i ] Δ S i
又
Δ
S
i
在
y
O
z
面
的
投
影
(
Δ
S
i
)
y
z
≈
cos
α
i
Δ
S
i
又Δ S_i 在 yOz面的投影(Δ S_i)_{yz}\approx\cosα_iΔ S_i
又 Δ S i 在 y O z 面 的 投 影 ( Δ S i ) y z ≈ cos α i Δ S i
Φ
=
lim
λ
→
0
∑
i
=
1
n
[
P
(
ξ
i
,
η
i
,
ζ
i
)
(
Δ
S
i
)
y
z
+
Q
(
ξ
i
,
η
i
,
ζ
i
)
(
Δ
S
i
)
x
z
+
R
(
ξ
i
,
η
i
,
ζ
i
)
(
Δ
S
i
)
x
y
]
Φ=\lim\limits_{λ\to0}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}[P(ξ_i,η_i,ζ_i)(Δ S_i)_{yz}+Q(ξ_i,η_i,ζ_i)(Δ S_i)_{xz}+R(ξ_i,η_i,ζ_i)(Δ S_i)_{xy}]
Φ = λ → 0 lim i = 1 ∑ n [ P ( ξ i , η i , ζ i ) ( Δ S i ) y z + Q ( ξ i , η i , ζ i ) ( Δ S i ) x z + R ( ξ i , η i , ζ i ) ( Δ S i ) x y ]
概念 ：设
Σ
Σ
Σ
R
(
x
,
y
,
z
)
在
Σ
R(x,y,z)在Σ
R ( x , y , z ) 在 Σ
∬
Σ
R
(
x
,
y
,
z
)
d
x
d
y
=
lim
λ
→
0
∑
i
=
1
n
f
(
ξ
,
η
i
,
ζ
i
)
(
Δ
S
i
)
x
y
\iint_{Σ}R(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\lim\limits_{λ\to0}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}f(ξ_,η_i,ζ_i)(Δ S_i)_{xy}
∬ Σ R ( x , y , z ) d x d y = λ → 0 lim i = 1 ∑ n f ( ξ , η i , ζ i ) ( Δ S i ) x y
R
(
x
,
y
,
z
)
R(x,y,z)
R ( x , y , z )
Σ
Σ
Σ
∬
Σ
P
(
x
,
y
,
z
)
d
y
d
z
=
lim
λ
→
0
∑
i
=
1
n
f
(
ξ
,
η
i
,
ζ
i
)
(
Δ
S
i
)
y
z
∬
Σ
Q
(
x
,
y
,
z
)
d
x
d
z
=
lim
λ
→
0
∑
i
=
1
n
f
(
ξ
,
η
i
,
ζ
i
)
(
Δ
S
i
)
x
z
\iint_{Σ}P(x,y,z)\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\lim\limits_{λ\to0}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}f(ξ_,η_i,ζ_i)(Δ S_i)_{yz} \\ \iint_{Σ}Q(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}z=\lim\limits_{λ\to0}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}f(ξ_,η_i,ζ_i)(Δ S_i)_{xz}
∬ Σ P ( x , y , z ) d y d z = λ → 0 lim i = 1 ∑ n f ( ξ , η i , ζ i ) ( Δ S i ) y z ∬ Σ Q ( x , y , z ) d x d z = λ → 0 lim i = 1 ∑ n f ( ξ , η i , ζ i ) ( Δ S i ) x z
Φ
Φ
Φ
∬
Σ
P
(
x
,
y
,
z
)
d
y
d
z
+
∬
Σ
Q
(
x
,
y
,
z
)
d
x
d
z
+
∬
Σ
R
(
x
,
y
,
z
)
d
x
d
y
\iint_{Σ}P(x,y,z)\mathrm{d}y\mathrm{d}z+\iint_{Σ}Q(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}z+\iint_{Σ}R(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y
∬ Σ P ( x , y , z ) d y d z + ∬ Σ Q ( x , y , z ) d x d z + ∬ Σ R ( x , y , z ) d x d y
∬
Σ
P
(
x
,
y
,
z
)
d
y
d
z
+
Q
(
x
,
y
,
z
)
d
x
d
z
+
R
(
x
,
y
,
z
)
d
x
d
y
\iint_{Σ}P(x,y,z)\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}z+R(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y
∬ Σ P ( x , y , z ) d y d z + Q ( x , y , z ) d x d z + R ( x , y , z ) d x d y 向量形式
∬
Σ
v
(
x
,
y
,
z
)
⋅
d
S
\iint_{Σ}\mathbf v(x,y,z)\cdot \mathrm{d}\mathbf S
∬ Σ v ( x , y , z ) ⋅ d S
v
(
x
,
y
,
z
)
=
P
(
x
,
y
,
z
)
i
+
Q
(
x
,
y
,
z
)
j
+
R
(
x
,
y
,
z
)
k
\mathbf v(x,y,z)=P(x,y,z)\mathbf i+Q(x,y,z)\mathbf j+R(x,y,z)\mathbf k
v ( x , y , z ) = P ( x , y , z ) i + Q ( x , y , z ) j + R ( x , y , z ) k
d
S
=
d
y
d
z
i
+
d
x
d
z
j
+
d
x
d
y
k
\mathrm{d}\mathbf S=\mathrm{d}y\mathrm{d}z\mathbf i+\mathrm{d}x\mathrm{d}z\mathbf j+\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathbf k
d S = d y d z i + d x d z j + d x d y k
对坐标曲面积分的部分性质
∬
Σ
k
v
⋅
d
S
=
k
∬
Σ
v
⋅
d
S
\iint_{Σ}k\mathbf v\cdot \mathrm{d}\mathbf S=k\iint_{Σ}\mathbf v\cdot \mathrm{d}\mathbf S
∬ Σ k v ⋅ d S = k ∬ Σ v ⋅ d S
∬
Σ
(
v
1
±
v
2
)
⋅
d
S
=
∬
Σ
v
1
⋅
d
S
±
∬
Σ
v
2
⋅
d
S
\iint_{Σ} (\mathbf v_1± \mathbf v_2)\cdot \mathrm{d}\mathbf S=\iint_{Σ} \mathbf v_1\cdot \mathrm{d}\mathbf S ± \iint_{Σ} \mathbf v_2\cdot \mathrm{d}\mathbf S
∬ Σ ( v 1 ± v 2 ) ⋅ d S = ∬ Σ v 1 ⋅ d S ± ∬ Σ v 2 ⋅ d S
∬
Σ
1
+
Σ
2
v
⋅
d
S
=
∬
Σ
1
v
⋅
d
S
+
∬
Σ
2
v
⋅
d
S
\iint_{Σ_1+Σ_2}\mathbf v\cdot \mathrm{d}\mathbf S=\iint_{Σ_1}\mathbf v\cdot \mathrm{d}\mathbf S+\iint_{Σ_2}\mathbf v\cdot \mathrm{d}\mathbf S
∬ Σ 1 + Σ 2 v ⋅ d S = ∬ Σ 1 v ⋅ d S + ∬ Σ 2 v ⋅ d S
Σ
1
Σ_1
Σ 1
Σ
2
Σ_2
Σ 2
∬
Σ
−
v
⋅
d
S
=
−
∬
Σ
v
⋅
d
S
\iint_{Σ^-}\mathbf v\cdot \mathrm{d}\mathbf S=-\iint_{Σ}\mathbf v\cdot \mathrm{d}\mathbf S
∬ Σ − v ⋅ d S = − ∬ Σ v ⋅ d S
Σ
−
Σ^-
Σ −
Σ
{Σ}
Σ
对坐标曲面积分的计算方法 ：设光滑曲面
Σ
:
z
=
f
(
x
,
y
)
,
(
x
,
y
)
∈
D
x
y
,
D
x
y
为
Σ
在
x
O
y
Σ:z=f(x,y),(x,y)\in D_{xy}, D_{xy}为Σ在xOy
Σ : z = f ( x , y ) , ( x , y ) ∈ D x y , D x y 为 Σ 在 x O y
R
(
x
,
y
,
z
)
为
Σ
R(x,y,z)为Σ
R ( x , y , z ) 为 Σ
∬
Σ
R
(
x
,
y
,
z
)
d
x
d
y
=
±
∬
d
x
y
R
[
x
,
y
,
z
(
x
,
y
)
]
d
x
d
y
\iint_{Σ}R(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=±\iint_{d_{xy}}R[x,y,z(x,y)]\mathrm{d}x\mathrm{d}y
∬ Σ R ( x , y , z ) d x d y = ± ∬ d x y R [ x , y , z ( x , y ) ] d x d y
n
与
z
\mathbf n与z
n 与 z
γ
γ
γ 锐正钝负 ，同样可得
∬
Σ
P
(
x
,
y
,
z
)
d
y
d
z
=
±
∬
d
y
z
R
[
x
(
y
,
z
)
,
y
,
z
]
d
y
d
z
∬
Σ
Q
(
x
,
y
,
z
)
d
x
d
y
=
±
∬
d
x
z
R
[
x
,
y
(
y
,
z
)
,
z
]
d
y
d
z
\iint_{Σ}P(x,y,z)\mathrm{d}y\mathrm{d}z=±\iint_{d_{yz}}R[x(y,z),y,z]\mathrm{d}y\mathrm{d}z \\ \iint_{Σ}Q(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=±\iint_{d_{xz}}R[x,y(y,z),z]\mathrm{d}y\mathrm{d}z
∬ Σ P ( x , y , z ) d y d z = ± ∬ d y z R [ x ( y , z ) , y , z ] d y d z ∬ Σ Q ( x , y , z ) d x d y = ± ∬ d x z R [ x , y ( y , z ) , z ] d y d z 两类曲面积分之间的联系
Σ
Σ
Σ
∬
Σ
P
(
x
,
y
,
z
)
d
y
d
z
=
∬
Σ
P
(
x
,
y
,
z
)
cos
α
d
s
∬
Σ
Q
(
x
,
y
,
z
)
d
x
d
y
=
∬
Σ
Q
(
x
,
y
,
z
)
cos
β
d
s
∬
Σ
R
(
x
,
y
,
z
)
d
x
d
y
=
∬
Σ
R
(
x
,
y
,
z
)
cos
γ
d
s
\iint_{Σ}P(x,y,z)\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\iint_{Σ}P(x,y,z)\cosα \mathrm{d}s \\ \iint_{Σ}Q(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\iint_{Σ}Q(x,y,z)\cosβ \mathrm{d}s \\ \iint_{Σ}R(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\iint_{Σ}R(x,y,z)\cosγ \mathrm{d}s
∬ Σ P ( x , y , z ) d y d z = ∬ Σ P ( x , y , z ) cos α d s ∬ Σ Q ( x , y , z ) d x d y = ∬ Σ Q ( x , y , z ) cos β d s ∬ Σ R ( x , y , z ) d x d y = ∬ Σ R ( x , y , z ) cos γ d s
α
(
x
,
y
,
z
)
,
β
(
x
,
y
,
z
)
,
γ
(
x
,
y
,
z
)
α(x,y,z),β(x,y,z),γ(x,y,z)
α ( x , y , z ) , β ( x , y , z ) , γ ( x , y , z )
Σ
Σ
Σ
(
x
,
y
,
z
)
(x,y,z)
( x , y , z )
∬
Σ
P
d
y
d
z
+
Q
d
x
d
z
+
R
d
x
d
y
=
∬
Σ
(
P
cos
α
+
Q
cos
β
+
R
cos
γ
)
d
s
\iint_{Σ}P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}x\mathrm{d}z+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\iint_{Σ}(P\cosα+Q\cosβ+R\cosγ) \mathrm{d}s
∬ Σ P d y d z + Q d x d z + R d x d y = ∬ Σ ( P cos α + Q cos β + R cos γ ) d s
∬
Σ
A
⋅
d
S
=
∬
Σ
A
⋅
n
d
s
\iint_{Σ}\mathbf A\cdot \mathrm{d}\mathbf S=\iint_{Σ}\mathbf A\cdot \mathbf n \mathrm{d}s
∬ Σ A ⋅ d S = ∬ Σ A ⋅ n d s
A
=
(
P
,
Q
,
R
)
,
n
=
(
cos
α
,
cos
β
,
cos
γ
)
\mathbf A=(P,Q,R),\mathbf n=(\cosα,\cosβ,\cosγ)
A = ( P , Q , R ) , n = ( cos α , cos β , cos γ )
(
x
,
y
,
z
)
(x,y,z)
( x , y , z )
d
S
=
n
d
s
=
d
y
d
z
i
+
d
x
d
z
j
+
d
x
d
y
k
\mathrm{d}\mathbf S=\mathbf n\mathrm{d}s=\mathrm{d}y\mathrm{d}z\mathbf i+\mathrm{d}x\mathrm{d}z\mathbf j+\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathbf k
d S = n d s = d y d z i + d x d z j + d x d y k
高斯公式 设空间闭区域
Ω
Ω
Ω
Σ
Σ
Σ
P
(
x
,
y
,
z
)
,
Q
(
x
,
y
,
z
)
,
R
(
x
,
y
,
z
)
在
Ω
P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)在Ω
P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R ( x , y , z ) 在 Ω
∭
Ω
(
∂
P
∂
x
+
∂
Q
∂
y
+
∂
R
∂
z
)
d
v
=
∯
Σ
P
d
y
d
z
+
Q
d
x
d
z
+
R
d
x
d
y
=
∯
Σ
(
P
cos
α
+
Q
cos
β
+
R
cos
γ
)
d
s
\begin{aligned} \iiint_{Ω}(\dfrac{∂ P}{∂ x}+\dfrac{∂ Q}{∂ y}+\dfrac{∂ R}{∂ z})\mathrm{d}v&=\oiint_{Σ}P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}x\mathrm{d}z+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y \\ &=\oiint_{Σ}(P\cosα+Q\cosβ+R\cosγ) \mathrm{d}s \end{aligned}
∭ Ω ( ∂ x ∂ P + ∂ y ∂ Q + ∂ z ∂ R ) d v = ∬
Σ P d y d z + Q d x d z + R d x d y = ∬
Σ ( P cos α + Q cos β + R cos γ ) d s
Σ
Σ
Σ
cos
α
,
cos
β
,
cos
γ
\cosα,\cosβ,\cosγ
cos α , cos β , cos γ
Σ
Σ
Σ
(
x
,
y
,
z
)
(x,y,z)
( x , y , z )
∭
Ω
∇
⋅
A
d
v
=
∯
Σ
A
⋅
d
S
=
∯
Σ
A
⋅
n
d
s
\iiint_{Ω}∇\cdot \mathbf A\mathrm{d}v=\oiint_{Σ}\mathbf A\cdot \mathrm{d}\mathbf S=\oiint_{Σ}\mathbf A\cdot \mathbf n \mathrm{d}s
∭ Ω ∇ ⋅ A d v = ∬
Σ A ⋅ d S = ∬
Σ A ⋅ n d s
A
=
(
P
,
Q
,
R
)
,
n
=
(
cos
α
,
cos
β
,
cos
γ
)
,
d
S
=
n
d
s
=
d
y
d
z
i
+
d
x
d
z
j
+
d
x
d
y
k
\mathbf A=(P,Q,R),\mathbf n=(\cosα,\cosβ,\cosγ),\mathrm{d}\mathbf S=\mathbf n\mathrm{d}s=\mathrm{d}y\mathrm{d}z\mathbf i+\mathrm{d}x\mathrm{d}z\mathbf j+\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathbf k
A = ( P , Q , R ) , n = ( cos α , cos β , cos γ ) , d S = n d s = d y d z i + d x d z j + d x d y k
格林第一公式 + 格林第二公式
u
(
x
,
y
,
z
)
,
v
(
x
,
y
,
z
)
u(x,y,z), v(x,y,z)
u ( x , y , z ) , v ( x , y , z )
Ω
Ω
Ω
∭
Ω
u
Δ
v
d
x
d
y
d
z
=
∯
Σ
u
∂
v
∂
n
d
s
−
∭
Ω
(
∂
u
∂
x
∂
v
∂
x
+
∂
u
∂
y
∂
v
∂
y
+
∂
u
∂
z
∂
v
∂
z
)
d
x
d
y
d
z
∭
Ω
(
u
Δ
v
−
v
Δ
u
)
d
x
d
y
d
z
=
∯
Σ
(
u
∂
v
∂
n
−
v
∂
u
∂
n
)
d
s
\iiint_{Ω}uΔ v \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z= \oiint_{Σ}u\dfrac{∂ v}{∂ n}\mathrm{d}s- \iiint_{Ω}(\dfrac{∂ u}{∂ x}\dfrac{∂ v}{∂ x}+\dfrac{∂ u}{∂ y}\dfrac{∂ v}{∂ y}+\dfrac{∂ u}{∂ z}\dfrac{∂ v}{∂ z})\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z\\ \iiint_{Ω}(uΔ v-vΔ u)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z= \oiint_{Σ}(u\dfrac{∂ v}{∂ n}-v\dfrac{∂ u}{∂ n})\mathrm{d}s
∭ Ω u Δ v d x d y d z = ∬
Σ u ∂ n ∂ v d s − ∭ Ω ( ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v + ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v + ∂ z ∂ u ∂ z ∂ v ) d x d y d z ∭ Ω ( u Δ v − v Δ u ) d x d y d z = ∬
Σ ( u ∂ n ∂ v − v ∂ n ∂ u ) d s
Σ
是
Ω
Σ是Ω
Σ 是 Ω
∂
u
∂
n
,
∂
v
∂
n
为
u
(
x
,
y
,
z
)
,
v
(
x
,
y
,
z
)
沿
Σ
\dfrac{∂ u}{∂ n},\dfrac{∂ v}{∂ n}为u(x,y,z),v(x,y,z)沿Σ
∂ n ∂ u , ∂ n ∂ v 为 u ( x , y , z ) , v ( x , y , z ) 沿 Σ
Δ
=
∂
2
∂
x
2
+
∂
2
∂
y
2
+
∂
2
∂
z
2
Δ=\dfrac{∂^2}{∂ x^2}+\dfrac{∂^2}{∂ y^2}+\dfrac{∂^2}{∂ z^2}
Δ = ∂ x 2 ∂ 2 + ∂ y 2 ∂ 2 + ∂ z 2 ∂ 2
沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 ：若空间区域
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω 二维单连通域 定理 ：若空间闭区域
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
∂
P
∂
x
+
∂
Q
∂
y
+
∂
R
∂
z
=
0
,
(
x
,
y
,
z
)
∈
Ω
\dfrac{∂ P}{∂ x}+\dfrac{∂ Q}{∂ y}+\dfrac{∂ R}{∂ z}=0, (x,y,z)\inΩ
∂ x ∂ P + ∂ y ∂ Q + ∂ z ∂ R = 0 , ( x , y , z ) ∈ Ω
高斯公式的物理意义 ：高斯公式
∭
Ω
(
∂
P
∂
x
+
∂
Q
∂
y
+
∂
R
∂
z
)
d
v
=
∯
Σ
P
d
y
d
z
+
Q
d
x
d
z
+
R
d
x
d
y
\iiint_{Ω}(\dfrac{∂ P}{∂ x}+\dfrac{∂ Q}{∂ y}+\dfrac{∂ R}{∂ z})\mathrm{d}v=\oiint_{Σ}P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}x\mathrm{d}z+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y
∭ Ω ( ∂ x ∂ P + ∂ y ∂ Q + ∂ z ∂ R ) d v = ∬
Σ P d y d z + Q d x d z + R d x d y
Ω
Ω
Ω
v
(
x
,
y
,
z
)
=
P
(
x
,
y
,
z
)
i
+
Q
(
x
,
y
,
z
)
j
+
R
(
x
,
y
,
z
)
k
\mathbf v(x,y,z)=P(x,y,z)\mathbf i+Q(x,y,z)\mathbf j+R(x,y,z)\mathbf k
v ( x , y , z ) = P ( x , y , z ) i + Q ( x , y , z ) j + R ( x , y , z ) k
Σ
Σ
Σ
n
是
Σ
在
点
(
x
,
y
,
z
)
\mathbf n是Σ在点(x,y,z)
n 是 Σ 在 点 ( x , y , z )
Σ
Σ
Σ 流量 (discharge)或通量 (flux)
Φ
=
∯
Σ
v
⋅
n
d
s
=
∯
Σ
P
d
y
d
z
+
Q
d
x
d
z
+
R
d
x
d
y
Φ=\oiint_{Σ}\mathbf v\cdot\mathbf n\mathrm{d}s=\oiint_{Σ}P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}x\mathrm{d}z+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y
Φ = ∬
Σ v ⋅ n d s = ∬
Σ P d y d z + Q d x d z + R d x d y
Φ
>
0
Φ>0
Φ > 0
Σ
Σ
Σ
Σ
Σ
Σ
Φ
>
0
Φ>0
Φ > 0
Σ
Σ
Σ
Σ
Σ
Σ
Φ
>
0
Φ>0
Φ > 0
Σ
Σ
Σ
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
V
V
V
Ω
Ω
Ω
M
(
x
,
y
,
z
)
M(x,y,z)
M ( x , y , z )
(
∂
P
∂
x
+
∂
Q
∂
y
+
∂
R
∂
z
)
∣
M
=
lim
Ω
→
M
Φ
V
(\dfrac{∂ P}{∂ x}+\dfrac{∂ Q}{∂ y}+\dfrac{∂ R}{∂ z})|_M=\lim\limits_{Ω\to M}\dfrac{Φ}{V}
( ∂ x ∂ P + ∂ y ∂ Q + ∂ z ∂ R ) ∣ M = Ω → M lim V Φ
d
i
v
v
(
M
)
=
∂
P
∂
x
+
∂
Q
∂
y
+
∂
R
∂
z
\mathrm{div}\ \mathbf{v}(M)=\dfrac{∂ P}{∂ x}+\dfrac{∂ Q}{∂ y}+\dfrac{∂ R}{∂ z}
d i v v ( M ) = ∂ x ∂ P + ∂ y ∂ Q + ∂ z ∂ R 散度 (divergence)，在此处为流体在M处的源头强度。
d
i
v
v
>
0
\mathrm{div}\ \mathbf{v}>0
d i v v > 0
d
i
v
v
<
0
\mathrm{div}\ \mathbf{v}<0
d i v v < 0
d
i
v
v
=
0
\mathrm{div}\ \mathbf{v}=0
d i v v = 0
∭
Ω
d
i
v
v
d
x
d
y
d
z
=
∯
Σ
v
⋅
n
d
s
\iiint_{Ω}\mathrm{div}\ \mathbf{v} \ \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\oiint_{Σ}\mathbf v\cdot\mathbf n\mathrm{d}s
∭ Ω d i v v d x d y d z = ∬
Σ v ⋅ n d s
斯托克斯公式 (Stokes formula) 设光滑曲面
Σ
Σ
Σ
Γ
Γ
Γ
Σ
Σ
Σ
Γ
Γ
Γ
P
(
x
,
y
,
z
)
,
Q
(
x
,
y
,
z
)
,
R
(
x
,
y
,
z
)
在
Σ
P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)在Σ
P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R ( x , y , z ) 在 Σ
∬
Σ
(
∂
R
∂
y
−
∂
Q
∂
z
)
d
y
d
z
+
(
∂
P
∂
z
−
∂
R
∂
x
)
d
x
d
z
+
(
∂
Q
∂
x
−
∂
P
∂
y
)
d
x
d
y
=
∮
Γ
P
d
x
+
Q
d
y
+
R
d
z
\iint_{Σ}(\dfrac{∂ R}{∂ y}-\dfrac{∂ Q}{∂ z})\mathrm{d}y\mathrm{d}z+ (\dfrac{∂ P}{∂ z}-\dfrac{∂ R}{∂ x})\mathrm{d}x\mathrm{d}z +(\dfrac{∂ Q}{∂ x}-\dfrac{∂ P}{∂ y})\mathrm{d}x\mathrm{d}y =\oint_{Γ}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z
∬ Σ ( ∂ y ∂ R − ∂ z ∂ Q ) d y d z + ( ∂ z ∂ P − ∂ x ∂ R ) d x d z + ( ∂ x ∂ Q − ∂ y ∂ P ) d x d y = ∮ Γ P d x + Q d y + R d z
∬
Σ
∣
d
y
d
z
d
z
d
x
d
x
d
y
∂
∂
x
∂
∂
y
∂
∂
z
P
Q
R
∣
=
∮
Γ
P
d
x
+
Q
d
y
+
R
d
z
\iint_{Σ} \begin{vmatrix} \mathrm{d}y\mathrm{d}z & \mathrm{d}z\mathrm{d}x &\mathrm{d}x\mathrm{d}y \\ \dfrac{∂}{∂ x} & \dfrac{∂}{∂ y} &\dfrac{∂}{∂ z} \\ P & Q &R \end{vmatrix}=\oint_{Γ}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z
∬ Σ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ d y d z ∂ x ∂ P d z d x ∂ y ∂ Q d x d y ∂ z ∂ R ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = ∮ Γ P d x + Q d y + R d z
∬
Σ
∣
cos
α
cos
β
cos
γ
∂
∂
x
∂
∂
y
∂
∂
z
P
Q
R
∣
=
∮
Γ
P
d
x
+
Q
d
y
+
R
d
z
\iint_{Σ} \begin{vmatrix} \cosα & \cosβ &\cosγ \\ \dfrac{∂}{∂ x} & \dfrac{∂}{∂ y} &\dfrac{∂}{∂ z} \\ P & Q &R \end{vmatrix}=\oint_{Γ}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z
∬ Σ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ cos α ∂ x ∂ P cos β ∂ y ∂ Q cos γ ∂ z ∂ R ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = ∮ Γ P d x + Q d y + R d z
空间曲线积分和路径无关的条件
P
(
x
,
y
,
z
)
,
Q
(
x
,
y
,
z
)
,
R
(
x
,
y
,
z
)
P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)
P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R ( x , y , z )
Γ
Γ
Γ
∮
Γ
P
d
x
+
Q
d
y
+
R
d
z
=
0
\oint_{Γ}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z=0
∮ Γ P d x + Q d y + R d z = 0
Γ
Γ
Γ
∮
Γ
P
d
x
+
Q
d
y
+
R
d
z
\oint_{Γ}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z
∮ Γ P d x + Q d y + R d z
u
(
x
,
y
,
z
)
,
d
u
=
P
d
x
+
Q
d
y
+
R
d
z
u(x,y,z),\mathrm{d}u=P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z
u ( x , y , z ) , d u = P d x + Q d y + R d z
u
=
∫
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
(
x
,
y
,
z
)
P
d
x
+
Q
d
y
+
R
d
z
u=\int_{(x_0,y_0,z_0)}^{(x,y,z)}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z
u = ∫ ( x 0 , y 0 , z 0 ) ( x , y , z ) P d x + Q d y + R d z
∂
P
∂
y
=
∂
Q
∂
x
,
∂
Q
∂
z
=
∂
R
∂
y
,
∂
R
∂
x
=
∂
P
∂
z
\dfrac{∂ P}{∂ y}=\dfrac{∂ Q}{∂ x},\dfrac{∂ Q}{∂ z}=\dfrac{∂ R}{∂ y},\dfrac{∂ R}{∂ x}=\dfrac{∂ P}{∂ z}
∂ y ∂ P = ∂ x ∂ Q , ∂ z ∂ Q = ∂ y ∂ R , ∂ x ∂ R = ∂ z ∂ P
环流量与旋度的力学意义
∬
Σ
c
u
r
l
A
⋅
n
d
s
=
∮
Γ
A
⋅
τ
d
s
\iint_{Σ}\mathrm{curl}\ \mathbf{A}\cdot\mathbf n\mathrm{d}s=\oint_{Γ}\mathbf A\cdot\mathbfτ \mathrm{d}s
∬ Σ c u r l A ⋅ n d s = ∮ Γ A ⋅ τ d s
A
(
x
,
y
,
z
)
=
P
(
x
,
y
,
z
)
i
+
Q
(
x
,
y
,
z
)
j
+
R
(
x
,
y
,
z
)
k
\mathbf A(x,y,z)=P(x,y,z)\mathbf i+Q(x,y,z)\mathbf j+R(x,y,z)\mathbf k
A ( x , y , z ) = P ( x , y , z ) i + Q ( x , y , z ) j + R ( x , y , z ) k
Γ
Γ
Γ
I
=
∮
Γ
A
⋅
τ
d
s
=
∮
Γ
A
⋅
d
r
=
∮
Γ
P
d
x
+
Q
d
y
+
R
d
z
I=\oint_{Γ}\mathbf A\cdot\mathbfτ \mathrm{d}s=\oint_{Γ}\mathbf A\cdot \mathrm{d}\mathbf r=\oint_{Γ}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z
I = ∮ Γ A ⋅ τ d s = ∮ Γ A ⋅ d r = ∮ Γ P d x + Q d y + R d z
A
\mathbf A
A
lim
r
→
0
∮
L
r
A
⋅
d
r
π
r
2
=
lim
r
→
0
∬
Σ
r
c
u
r
l
A
⋅
n
d
s
π
r
2
=
c
u
r
l
A
∣
M
\lim\limits_{r\to0}\dfrac{\oint_{L_r}\mathbf A\cdot \mathrm{d}\mathbf r}{π r^2}=\lim\limits_{r\to0}\dfrac{\iint_{Σ_r}\mathrm{curl}\ \mathbf{A}\cdot\mathbf n\mathrm{d}s}{π r^2}=\mathrm{curl}\ \mathbf{A}|_M
r → 0 lim π r 2 ∮ L r A ⋅ d r = r → 0 lim π r 2 ∬ Σ r c u r l A ⋅ n d s = c u r l A ∣ M
ω
\mathbfω
ω
ω
=
ω
k
,
r
=
(
x
,
y
,
z
)
\mathbfω=ω\mathbf k,\mathbf r=(x,y,z)
ω = ω k , r = ( x , y , z )
ω
=
v
×
r
=
∣
i
j
k
0
0
ω
x
y
z
∣
=
(
−
ω
y
,
ω
x
,
0
)
\mathbfω=\mathbf v×\mathbf r=\begin{vmatrix} \mathbf i &\mathbf j &\mathbf k \\ 0&0&ω \\ x&y&z \end{vmatrix}=(-ω y,ω x,0)
ω = v × r = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ i 0 x j 0 y k ω z ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = ( − ω y , ω x , 0 )
c
u
r
l
v
=
∇
×
v
=
∣
i
j
k
∂
∂
x
∂
∂
y
∂
∂
z
−
ω
y
ω
x
0
∣
=
2
ω
\mathrm{curl}\ \mathbf{v}=∇×\mathbf v=\begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j &\mathbf k \\ \dfrac{∂}{∂ x} & \dfrac{∂}{∂ y} &\dfrac{∂}{∂ z} \\-ω y & ω x &0\end{vmatrix}=2\mathbfω
c u r l v = ∇ × v = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ i ∂ x ∂ − ω y j ∂ y ∂ ω x k ∂ z ∂ 0 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = 2 ω
定积分基本公式
∫
a
b
F
′
(
x
)
d
x
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
\int_a^bF'(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a)
∫ a b F ′ ( x ) d x = F ( b ) − F ( a )
曲线积分的基本公式
∫
L
A
B
∇
f
⋅
d
r
=
f
(
B
)
−
f
(
A
)
\int_{L_{AB}}∇ f\cdot \mathrm{d}\mathbf r=f(B)-f(A)
∫ L A B ∇ f ⋅ d r = f ( B ) − f ( A )
格林公式(Green formula)
∬
d
d
i
v
A
d
x
d
y
=
∮
L
A
⋅
n
d
s
\iint_\mathrm{d}\mathrm{div}\mathbf A\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\oint_L\mathbf A\cdot\mathbf n\mathrm{d}s
∬ d d i v A d x d y = ∮ L A ⋅ n d s
高斯公式(Gauss formula)
∭
Ω
d
i
v
A
d
v
=
∯
Σ
A
⋅
d
S
\iiint_{Ω}\mathrm{div}\mathbf A\mathrm{d}v=\oiint_{Σ}\mathbf A\cdot \mathrm{d}\mathbf S
∭ Ω d i v A d v = ∬
Σ A ⋅ d S
斯托克斯公式(Stokes formula)
∬
Σ
c
u
r
l
A
⋅
d
S
=
∮
Γ
A
⋅
d
r
\iint_{Σ}\mathrm{curl}\ \mathbf{A}\cdot \mathrm{d}\mathbf S=\oint_{Γ}\mathbf A\cdot \mathrm{d}\mathbf r
∬ Σ c u r l A ⋅ d S = ∮ Γ A ⋅ d r
