证明结论中有双中值( $\xi ,\eta$)题型的一般解题步骤

题型一：仅有 $f'(\xi).f'(\eta)$的情况

构造辅助函数： $h(x)=f(x)-\Delta，其中\Delta为要证的结论$

$例题1：f(x)\in C[0,1],(0,1)内可导,f(0)=0,f(1)=1.请证明:\\\bold{(1)}.\exist c\in(0,1),f(c)=\frac{1}{2}\\\bold{(2)}\exist\ \xi,\eta \in (0,1),\frac{1}{f'(\xi)}+\frac{1}{f'(\eta)}=2$

证：
1°构造辅助函数 $h(x)=f(x)-\frac{1}{2}$
$h(0)=-\frac{1}{2}$
$h(1)=\frac{1}{2}$
$\because h(0)h(1)<0,根据零点定理可得$
$\exist\ c\in(0,1) 使h(c)=0\Longrightarrow f(c)=\frac{1}{2}$
2° 根据三点 $h(0),h(1),f(c)$使用两次拉格朗日中值定理
$\exist \ \xi \in(0,c),\eta \in(c,1)$使得
$f'(\xi)=\frac{f(c)-f(0)}{c-0}=\frac{1}{2c}\quad f'(\eta)=\frac{f(1)-f(c)}{1-c}=\frac{1}{2(1-c)}$
$\frac{1}{f'(\xi)}=2c \quad \frac{1}{f'(\eta)}=2(1-c)$
$\Longrightarrow 2c+2(1-c)=2$
$\therefore \frac{1}{f'(\xi)}+\frac{1}{f'(\eta)}=2$

题型二： $\xi\ ,\eta复杂度不同的情况$

1.留复杂，单独把复杂的函数拿出来，其它的全部忽略

复杂等级：平方>相乘>相加

2.还原该复杂函数会出现两种情况
$\huge \begin{cases} \frac{(\Delta)'}{(\eta)'} \Longrightarrow 柯西定理 \\ (\Delta)'\Longrightarrow拉格朗日定理 \end{cases}$

$例题：f(x)\in C[a,b],(a,b)内可导,a>0.\\证：\exists\ \xi,\eta \in (a,b).f'(\xi)=(a+b)\frac{f'(\eta)}{2\eta}$

解：
1° 留复杂,很明显 $\frac{f'(\eta)}{2\eta}$为复杂函数，分析该函数：
$\frac{f'(\eta)\overset{\text{还原}}{\Longrightarrow}f(x)}{2\eta\overset{\text{还原}}{\Longrightarrow}x^2}$
可以发现这个是属于 $\frac{(\Delta)'}{(\eta)'}$的类型，所以使用柯西定理
2° 构造辅助函数，令 $g(x)=x^2 ,则g'(x)=2x\neq0$
使用柯西定理 $\exists \ \eta \in (a,b).使\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\eta)}{g'(\eta)}$
3° 代入至辅助函数
$\large \frac{f(b)-f(a)}{b^2-a^2}=\frac{f'(\eta)}{2\eta}\overset{\text{两边同乘(a+b)}}{\Longrightarrow}\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=(a+b)\frac{f'(\eta)}{2\eta}\\$
4° 使用拉格朗日定理

$\large \exists\ \xi\in(a,b) 使f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

$\large \because \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=(a+b)\frac{f'(\eta)}{2\eta}$

$\large \therefore f'(\xi)=(a+b)\frac{f'(\eta)}{2\eta}$