有 $\xi,有a,b的题型解题的一般步骤$

当遇到有 $\xi$ 和a,b的题型一般分为两种情况讨论：
1.a,b可与 $\xi$ 分离
2.a,b不能与 $\xi$ 分离

a,b可与 $\xi$ 分离的一般解题步骤

1.先将a,b与 $\xi$ 分离，a,b侧分两种形式:
$如果a,b侧为这种形式:\frac{f(b)-f(a)}{b-a} 则使用拉格朗日中值定理$
$如果a,b侧为这种形式:\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} 则使用柯西中值定理$
2.构造辅助函数，使非 $a,b侧的\xi 还原$
3.使用拉格朗日或柯西定理与辅助函数结合得证

例题: $f(x)\ \in\ C[0,1],在(0,1)内可导,a>0,证明\ni\xi \in (a,b).\\ \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad f(b)-f(a)=\xi f'(\xi)ln\frac{b}{a}$

解：
1° 先将a,b与 $\xi$ 分离
利用公式 $ln\frac{b}{a}=lnb-lna$将要证的结论的式子变为
$f(b)-f(a)=\xi f'(\xi)(lnb-lna)$
把 $(lnb-lna)$移至左边得：
$\frac{f(b)-f(a)}{lnb-lna}=\xi f'(\xi)$
发现a,b侧是属于 $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$的形式，所以使用柯西定理。

2° 构造辅助函数，将 $\xi$ 还原
令 $g(x)=lnx.\Rightarrow g'(x)=\frac{1}{x} \neq 0$

3° 根据柯西中值定理可得：
$\ni \xi (a,b) 使 \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$
与2° $中的g(x)和g'(x)$结合可得
$\huge\frac{f(b)-f(a)}{ln(b)-ln(a)}=\frac{f'(\xi)}{\frac{1}{\xi}}$
最后把a,b移回去得证 $f(b)-f(a)=\xi f'(\xi)ln\frac{b}{a}$

a,b不可与 $\xi$ 分离的一般解题步骤

1°先将 $\xi改成x$
2°去分母，移项。让式子变成 $\theta=0$的形式，再将式子还原成 $(\Delta)'=0$的形式
3°令 $\varphi(x)=\Delta$作为辅助函数
$例题：f(x),g(x)\in C[a,b],(a,b)内可导，g'(x)\neq 0(a<x<b).\\求证：\exists \xi\in(a,b),使\frac{f(\xi)-f(a)}{g(b)-g(\xi)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$
1.把 $\xi改成x$，交叉相乘并移项可得
$\bold {f(x)g'(x)-f(a)g'(x)-f'(x)g(b)+f'(x)g(x)=0}$

第一项和第四项可以直接还原成 $[f(x)g(x)]'$，第二项和三项分别还原：
$\bold{[f(x)g(x)-f(a)g(x)-g(b)f(x)]'=0}$
2.构造辅助函数，令 $\varphi(x)=f(x)g(x)-f(a)g(x)-g(b)f(x)$
3.代入区间端点a,b：
$\varphi(a)=f(a)g(a)-f(a)g(a)-g(b)f(a)=-g(b)f(a)$
$\varphi(b)=f(b)g(b)-f(a)g(b)-g(b)f(b)=-g(b)f(a)$
4.发现 $\varphi(a)=\varphi(b)果断使用罗尔定理$
$\because \varphi(a)=\varphi(b)$
$\therefore\exist\ \xi\in(a,b)使\varphi '(\xi)=0$
于是
$\varphi '(\xi)=f'(\xi)g(\xi)+f(\xi)g'(\xi)-f(a)g'(\xi)-g(b)f'(\xi)=0$
整理得证
$\frac{f(\xi)-f(a)}{g(b)-g(\xi)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$