利用罗尔中值定理解题的一般步骤
罗尔定理:设f(x) ∈ C[a,b],在(a,b)内可导,f(a)=f(b),则存在ξ ∈(a,b),使得f′(ξ)=0
- 构造辅助函数
还原法构造辅助函数步骤:
- 将待证结论中的
ξ换成x
- 想办法构造出
f(x)f′(x)+lnΔ=0的形式
- 合并上面的两项得
[lnf(x)Δ]=0
- 取
ln里面的表达式作为辅助函数
φ(x)=f(x)Δ
- 将区间端点代入至辅助函数即可使用罗尔定理
- 对辅助函数求导,并结合第2步得出证明结论
例题:
f(x) ∈ C[0,1],在(0,1)内可导,f(1)=0,证明存在 ξ ∈(0,1)使得2f(ξ)+ξf′(ξ)=0
解:
1° 用还原法构造辅助函数
2f(x)+xf′(x)=0
- 两边同除
xf(x)即可得到
f(x)f′(x)+lnΔ=0的形式
x2+f(x)f′(x)=0
-
让x2也变成ln的形式,还原为lnx2,顺便把f(x)f′(x)也还原成lnf(x),利用公式:lna+lnb=lnab将这两项合并
[lnf(x)x2]′=0
- 取
ln里面的表达式作为辅助函数
φ(x)=f(x)x2
2° 将区间端点代入至辅助函数,再使用罗尔定理
∵φ(0)=φ(1)=0
∴ ∋ξ∈(0,1)使φ′(ξ)=0
3°对辅助函数求导
φ′(x)=2xf(x)+x2f′(x) 整理成要证明的结论的形式⟹x[2f(x)+xf′(x)]
结合2°可得
φ′(ξ)=ξ[2f(ξ)+ξf′(ξ)]=0
∵ξ∈(0,1)̸=0
∴2f(ξ)+ξf′(ξ)=0