传送门

如果求出 $f(n)=\sum_i\sum_{j\le i}i*\sigma(ij),g(n)=\sum_i i*\sigma(i^2)$
那么 $2*f(n)-g(n)$ 就是答案

有一个结论是
$\sigma_0(ij)=\sum_{d|i}\sum_{l|j}[gcd(d,l)=1]$
证明（口胡）：考虑某一个质因子 $p$，假设最后在约数中为 $p^c$
令如果 $p$ 在 $i$ 中为 $p^a$，如果 $c\le a$ 那么我们在 $i$ 中填上 $c$，否则在 $j$ 中填上 $c-a$
显然 $p$ 只会在一边出现而且所有的因数考虑完了
如果是 $\sigma(ij)$ 的话考虑一下上面的过程想一想最后是什么数，有：
$f(n)=\sum_{i=1}^ni\sum_{j=1}^i\sum_{p|i}\sum_{q|j}[gcd(p,q)=1]\frac{pj}{q}$
$=\sum_{d=1}^{n}\mu(d)\sum_{d|p}p\sum_{p|i}i\sum_{d|q}\sum_{d|j,j\le i}\frac{j}{q}$
$=\sum_{d=1}^{n}\mu(d)\sum_{p=1}^{n/d}dp\sum_{p|i,i\le n/d}di\sum_{q\le i}\sum_{q|j,j\le i}\frac{j}{q}$
$=\sum_{d=1}^{n}\mu(d)d^2\sum_{p=1}^{n/d}p\sum_{p|i,i\le n/d}i\sum_{j\le i}\sigma(j)$
$=\sum_{d=1}^{n}\mu(d)d^2\sum_{i\le n/d}i*\sigma(i)\sum_{j\le i}\sigma(j)$
已经可以 $O(n)$ 预处理， $O(\sqrt n)$ 查询了，但 $T$ 较大
考虑一个 $d,i$ 的贡献，对所有 $n\ge d*i$ 都有贡献，于是就可以 $O(nlogn)$ 预处理， $O(1)$ 查询
$g$ 同理
顺带一提， $\sigma$ 可以用线性筛，考虑质数次幂的贡献即可
$\sigma(p)=p+1$
$\sigma(p^k)=\sum_{i=0}^kp^k$

#include<bits/stdc++.h>
#define cs const
using namespace std;
cs int Mod = 1e9 + 7, N = 1e6 + 5;
int add(int a, int b){ return a + b >= Mod ? a + b - Mod : a + b; } 
int dec(int a, int b){ return a - b < 0 ? a - b + Mod : a - b; }
int mul(int a, int b){ return 1ll * a * b % Mod; }
void Add(int &a, int b){ a = add(a, b); }
int T, n, mu[N], sig[N], Ssig[N];
bool isp[N]; int prim[N], tot;
int Mn[N], vlMn[N], ans[N], f[N], g[N];
void prework(){
	n = 1e6;
	mu[1] = sig[1] = 1;
	for(int i = 2; i <= n; i++){
		if(!isp[i]){
			prim[++tot] = i;
			sig[i] = i+1; mu[i] = Mod-1;
			Mn[i] = 1; vlMn[i] = i+1;
		}
		for(int j = 1; j <= tot; j++){
			if(prim[j] * i > n) break;
			int k = prim[j] * i; isp[k] = true;
			if(i % prim[j] == 0){
				Mn[k] = Mn[i]; mu[k] = 0;
				vlMn[k] = add(mul(vlMn[i], prim[j]), 1);
				sig[k] = mul(vlMn[k], sig[Mn[k]]);
				break;
			}
			Mn[k] = i; vlMn[k] = prim[j]+1;
			mu[k] = mul(mu[i], mu[prim[j]]);
			sig[k] = mul(sig[i], sig[prim[j]]);
		}
	}
	for(int i = 1; i <= n; i++){
		f[i] = mul(mu[i], mul(i,i));
		Ssig[i] = add(Ssig[i-1], sig[i]);
		g[i] = mul(mul(i, sig[i]), dec(mul(2,Ssig[i]),sig[i]));
	}
	for(int i = 1; i <= n; i++)
	for(int j = 1, up=n/i; j <= up; j++)
	Add(ans[i*j], mul(f[i],g[j]));
	for(int i = 1; i <= n; i++) Add(ans[i], ans[i-1]);
} 
int main(){
	prework(); 
	cin >> T; for(int i = 1; i <= T; i++){ 
		scanf("%d", &n); cout << "Case #" << i << ": " << ans[n] << '\n'; 
	} return 0;
}