我们先不考虑
abi=baj 这种情况,那么就很裸的莫比乌斯反演了。
设
f(x)=i=1∑nj=1∑n[gcd(i,j)==x]
在设
g(x)=x∣d∑f(d)
=x∣d∑i=1∑nj=1∑n[gcd(i,j)==d]
=i=1∑nj=1∑n[x∣gcd(i,j)]
=x∣i∑nx∣j∑n1
就得到如上式子,
那如果在考虑
abi=baj这个因素,只需加一个限制条件
f(x)=i=1∑nj=1∑n[gcd(i,j)==x][abi=baj]
套用上面的方式,得到:
g(x)=x∣i∑nx∣j∑n[abi=baj]
对于这个式子,可以
log得到
然后反演回去:
f(x)=x∣d∑u(xd)∗g(d)
这里x 等于1,所以最终答案为:
f(1)=d=1∑nu(d)∗g(d)
=d=1∑nu(d)∗d∣i∑nd∣j∑n[abi=baj]
最终复杂度
O(nlogn)