第三周要点：

1. quick sort(快速排序O(Nlog(N)）

input: a array,unsorted
output: Same numbers sorted in increasing order

algorithm:

pseudocode for partition

the importance of choosing pivot:
worst $O(N^2)$ 例子： 一个y已经排好序的数组 每次只减少了一个元素
best: ： $O(Nlog(N))$ 例子： 每次的pivot元素都选到了中间。

而quick_sort 基本上可以达到 $O(N*log(N))$的复杂度

2. 证明：

can’t apply master method

decomposition method

general decomposition principle

更详细证明见课程：https://www.coursera.org/learn/algorithms-divide-conquer/exam/h06aN/problem-set-3

3. 习题解释

每个数组都有n个元素，要使小的那个数组的长度比 $\alpha n$大，那么快速排序中所要选择的那个pivot 元素x一定要满足
$\alpha n +1<=x<=n-\alpha n$ 所以这样的概率对于长度为n的数组来说就是 $P = \frac{n-2\alpha n}{n} = 1 - 2*\alpha$

由题已知 $\alpha < 1 - \alpha$， 假设迭代次数为 $x$, 在经过x次迭代后，长度最小的那个向量应该为 $\alpha^{x}n$,最大的应该为 $(1-\alpha)^{x}n$, 令这两个边界等于1，即可得到答案。

期望的可加性：
$E(X + Y) = E(X) + E(Y)$
将 $E(i,j)$定义为第i个人和第j个人同一天生日的期望 有 $E(i,j) = 1* 1/365 = 1/365$
$E(有一个人过生日) = \sum_{i=1}^{k-1}\sum_{j=i+1}^{k}E(i,j) = \frac{k*(k-1)}{2} *1/365=1$
所以k = 28

期望不是概率
期望是事件的平均数！

分别计算一下两边的概率即可得出结论
公式：
在X 和 Y 是独立事件的情况下：
$E(X * Y) = E(X) * E(Y)$

4. quick_sort 代码

#全局变量m用来记录比较次数
m = 0
def partition(A,P):
    i = 1
    #挪到首位
    A[0],A[P] = A[P],A[0]
    for j in range(1,len(A)):
        if(A[j]<=A[0]):
            A[j],A[i] = A[i],A[j]
            i += 1
    return i

def quick_sort(A):
    global m
    if(len(A)==1 or len(A)==0):
        return A
    else:
        #三個元素比較 
        mid = (len(A)-1)//2
        P = A.index(sorted([A[0],A[mid],A[len(A)-1]])[1])
        i = partition(A,P)
        A[0],A[i-1] = A[i-1], A[0] 
        m += len(A) - 1
        A[:i-1] = quick_sort(A[:i-1])
        A[i:] = quick_sort(A[i:])
        return A