假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢?
注意:给定 n 是一个正整数。
示例 1:
输入: 2
输出: 2
解释: 有两种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶
2. 2 阶
示例 2:
输入: 3
输出: 3
解释: 有三种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2. 1 阶 + 2 阶
3. 2 阶 + 1 阶
摘要
假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢?
解决方案
方法一:暴力法
算法
在暴力法中,我们将会把所有可能爬的阶数进行组合,也就是 1 和 2 。而在每一步中我们都会继续调用 climbStairsclimbStairs 这个函数模拟爬 1 阶和 2 阶的情形,并返回两个函数的返回值之和。
climbStairs(i,n)=climbStairs(i+1,n)+climbStairs(i+2,n)
其中 i定义了当前阶数,而 n 定义了目标阶数。
<?php
function climb_Stairs($i, $n) {
if ($i > $n) {
return 0;
}
if ($i == $n) {
return 1;
}
return climb_Stairs($i + 1, $n) + climb_Stairs($i + 2, $n);
}
$n = 7;
var_dump(climb_Stairs(0, $n));
复杂度分析
-
时间复杂度:O(2^n)。树形递归的大小为 2^n。
在 n=5 时的递归树将是这样的:
- 空间复杂度:O(n)。递归树的深度可以达到 n 。
方法 2:记忆化递归
算法
在上一种方法中,我们计算每一步的结果时出现了冗余。另一种思路是,我们可以把每一步的结果存储在 memo 数组之中,每当函数再次被调用,我们就直接从 memo 数组返回结果。
在 memo 数组的帮助下,我们得到了一个修复的递归树,其大小减少到 n 。
<?php
function climb_Stairs($i, $n, &$memo) {
if ($i > $n) {
return 0;
}
if ($i == $n) {
return 1;
}
if (isset($memo[$i])) {
return $memo[$i];
}
$memo[$i] = climb_Stairs($i + 1, $n, $memo) + climb_Stairs($i + 2, $n, $memo);
return $memo[$i];
}
$memo = [];
var_dump(climb_Stairs(0, 8, $memo));
复杂度分析
-
时间复杂度:O(n) 。树形递归的大小可以达到 n 。
-
空间复杂度:O(n) 。递归树的深度可以达到 n 。
方法 3:动态规划
算法
不难发现,这个问题可以被分解为一些包含最优子结构的子问题,即它的最优解可以从其子问题的最优解来有效地构建,我们可以使用动态规划来解决这一问题。
第 ii 阶可以由以下两种方法得到:
-
在第 (i-1)(i−1) 阶后向上爬一阶。
-
在第 (i-2)(i−2) 阶后向上爬 22 阶。
所以到达第 ii 阶的方法总数就是到第 (i-1)(i−1) 阶和第 (i-2)(i−2) 阶的方法数之和。
令 dp[i]表示能到达第 ii 阶的方法总数:
dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]
<?php
function climbStairs($n) {
if ($n == 1) {
return 1;
}
$dp = [];
$dp[1] = 1;
$dp[2] = 2;
for ($i = 3; $i <= $n; $i++) {
$dp[$i] = $dp[$i - 1] + $dp[$i - 2];
}
return $dp[$n];
}
var_dump(climbStairs(7));
复杂度分析
-
时间复杂度:O(n),单循环到 n 。
-
空间复杂度:O(n)。dpdp 数组用了 n 的空间。
方法 4: 斐波那契数
算法
在上述方法中,我们使用 dp 数组,其中 dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]。可以很容易通过分析得出 dp[i] 其实就是第 i个斐波那契数。
Fib(n)=Fib(n−1)+Fib(n−2)
现在我们必须找出以 1 和 2 作为第一项和第二项的斐波那契数列中的第 n 个数,也就是说 Fib(1)=1 且 Fib(2)=2。
<?php
function climbStairs($n) {
if ($n == 1) {
return 1;
}
$first = 1;
$second = 2;
for ($i = 3; $i <= $n; $i++) {
$third = $first + $second;
$first = $second;
$second = $third;
}
return $second;
}
var_dump(climbStairs(9));
复杂度分析
-
时间复杂度:O(n)。单循环到 n,需要计算第 n 个斐波那契数。
-
空间复杂度:O(1)。使用常量级空间。