薛定谔方程怎么来的？

前些天研究生面试的时候老师问薛定谔方程左边那个i是怎么来的，如果是你，你怎么想到这个方程。我菜菜地说这是基于波粒二象性猜出来的，具体不知道，是我我想不出来这个。老师像看傻子一样看着我，很尴尬。后来看到一段关于这个的解释，感觉好像是这么回事。

薛定谔方程：

$i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi (\vec{x},t)=\hat{H} \psi(\vec{x},t)$

波粒二象性指出微观粒子同时具有波和粒子的特性，其中波的特性和粒子的特性相互关联，表现为波长和动量的关系：

$\lambda = \frac{h}{p}$

以及等价地，能量和角频率的关系：

$E = \hbar \omega$

从粒子具有波的特性出发，波函数总是可以写成平面波的傅立叶积分，而又满足叠加性原理，这样，可以解出波函数的方程一定有平面波解。所以不妨从平面波开始考虑：

$\psi = Ne^{i(k\vec{x} - \omega t)}$

考虑上面波粒二象性导出的关系，可以发现：

$\hbar \omega \psi =i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi$

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$E\psi = (T + V) \psi = \left(\frac{\vec{p}^2}{2m} + V(\vec{x}) \right) \psi$

$\vec{p}^2 \psi= \hbar^2k^2\psi= -\hbar^2 \triangledown^2\psi$

代回去就得到了薛定谔方程。作为一个线性偏微分方程，它显然是满足叠加性原理的，这也满足一开始的要求。

PS：写完了才觉得很熟悉的样子，菜是原罪……