最小生成树(Kruskal(克鲁斯卡尔)和Prim(普里姆))算法动画演示
Prim算法适用于稠密图
Kruskal适用于稀疏图
prim算法
从顶点开始,优先选择连结 两个顶点集合(已选顶点集合和未选顶点集合)的所有边 中,权值最小的,同时移动该顶点到已选顶点集合
再重复同样步骤
实现过程:不断更新三个列表
1.存储该顶点是否被选取 true:已选顶点集合 false:未选顶点集合
2.某一时刻,连结已选顶点集合 到 该顶点的 所有边中权值最小那条边的权值大小,初始状态都为INF
3.存储最小权值边两端顶点的信息。
两个顶点确定一条边,初始都为-1,表示不存在
选择一个顶点开始,当已选集合中每加入一个新的顶点,更新所有与该顶点相连 顶点的列表信息
因为权值一开始设置为INF
如果某个点与这一点的权制存在,并且小于INF,更新父亲列表,更新权值,
接下来扫描最小权值列表,找到最小值的所对应的顶点
将是否选择改成true,
接着以该顶点为新顶点重复操作
update——scan——add
代码:
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
//const int mod=;
#define INF 0x3f3f3f3f
const int maxn=10010;
int n,m; //n个点
int mat[maxn][maxn]; //
bool vis[maxn]; //看是否选择过
int d[maxn]; //记录任意一点到这个点的最近距离
int main(void){
cin >> n;
//邻接矩阵
for(int i=1; i<=n; i++)
for(int j=1; j<=n; j++)
cin >> mat[i][j];
memset(d,INF,sizeof(d));
memset(vis,0,sizeof(vis));
int ans = 0;
d[1] = 0; //从1开始,那么1到已选集合距离为0
for(int i=1; i<=n; i++){
int end = -1;
for(int j=1; j<=n; j++){ //每次都遍历未选集合内的所有点
if(!vis[j] && (end == -1||d[j]<d[end])) //总有一个比INF小
end = j; //d[j]是最优的
}
ans += d[end];
vis[end] = 1; //用过了,标记到已选集合
for(int j=1; j<=n; j++){
//加了一个新的点进去,新的已选区域,这个新的点相连的边也加到可选列表内
if(!vis[j] && mat[end][j]<d[j])
//end是新加的,比较到j权值,j点之前可能已经添加过,所以比较,选择最小的
d[j] = mat[end][j];
}
}
cout << ans << endl;
return 0;
}
Kruskal算法
将权值从小到大排列,每次选最小的,判断当前图内是否成环,成环:丢弃,选下一个
依次,直到选择边的个数为n-1
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define ll long long
using namespace std;
//const int mod=;
#define INF 0x3f3f3f3f
const int maxn=1e6+10;
int n,m; //n个点m个边
//存边的数据
struct node{
int from,to,val;
}edge[maxn];
bool cmp(node x,node y){
return x.val < y.val;
}
int pre[maxn];
//并查集
int find(int x){
return x == pre[x]?x:pre[x] = find(pre[x]);
}
void Union(int x,int y){
pre[find(x)] = find(y);
}
int main(void){
cin >> n >> m;
int ans = 0;
for(int i=0; i<=n; i++)
pre[i] = i;
for(int i=1; i<=m; i++)
cin >> edge[i].from >> edge[i].to >> edge[i].val;
sort(edge+1,edge+m+1,cmp);
//扫描所有边
for(int i=1; i<=m; i++){
//如果一个是在有效集合,一个在无效集合:不能构成环,就连接起来——并查集
if(find(edge[i].from) != find(edge[i].to)){
ans += edge[i].val;
Union(edge[i].from,edge[i].to);
}
}
cout << ans << endl;
return 0;
}