附录一 相关公式

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附一  积分表及其相关公式

  1. ∫ k d x = k x + C ( k 是常数 ) , \displaystyle\int k\mathrm{d}x=kx+C\quad(k\text{是常数}),
  2. ∫ x μ d x = x μ + 1 μ + 1 + C ( μ ≠ − 1 ) , \displaystyle\int x^\mu\mathrm{d}x=\cfrac{x^{\mu+1}}{\mu+1}+C\quad(\mu\ne-1),
  3. ∫ d x x = ln ⁡ ∣ x ∣ + C , \displaystyle\int\cfrac{\mathrm{d}x}{x}=\ln|x|+C,
  4. ∫ d x 1 + x 2 = arctan ⁡ x + C , \displaystyle\int\cfrac{\mathrm{d}x}{1+x^2}=\arctan x+C,
  5. ∫ d x 1 − x 2 = arcsin ⁡ x + C , \displaystyle\int\cfrac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C,
  6. ∫ cos ⁡ x d x = sin ⁡ x + C , \displaystyle\int\cos x\mathrm{d}x=\sin x+C,
  7. ∫ sin ⁡ x d x = − cos ⁡ x + C , \displaystyle\int\sin x\mathrm{d}x=-\cos x+C,
  8. ∫ d x cos ⁡ 2 x = ∫ sec ⁡ 2 d x = tan ⁡ x + C , \displaystyle\int\cfrac{\mathrm{d}x}{\cos^2x}=\displaystyle\int\sec^2\mathrm{d}x=\tan x+C,
  9. ∫ d x sin ⁡ 2 x = ∫ csc ⁡ 2 x d x = − cot ⁡ x + C , \displaystyle\int\cfrac{\mathrm{d}x}{\sin^2x}=\displaystyle\int\csc^2x\mathrm{d}x=-\cot x+C,
  10. ∫ sec ⁡ x tan ⁡ x d x = sec ⁡ x + C , \displaystyle\int\sec x\tan x\mathrm{d}x=\sec x+C,
  11. ∫ csc ⁡ x cot ⁡ x d x = − csc ⁡ x + C , \displaystyle\int\csc x\cot x\mathrm{d}x=-\csc x+C,
  12. ∫ e x d x = e x + C , \displaystyle\int e^x\mathrm{d}x=e^x+C,
  13. ∫ a x d x = a x ln ⁡ a + C , \displaystyle\int a^x\mathrm{d}x=\cfrac{a^x}{\ln a}+C,
  14. ∫ s h   x d x = c h   x + C , \displaystyle\int\mathrm{sh}\ x\mathrm{d}x=\mathrm{ch}\ x+C,
  15. ∫ c h   x d x = s h   x + C , \displaystyle\int\mathrm{ch}\ x\mathrm{d}x=\mathrm{sh}\ x+C,
  16. ∫ tan ⁡ x d x = − ln ⁡ ∣ cos ⁡ x ∣ + C , \displaystyle\int\tan x\mathrm{d}x=-\ln|\cos x|+C,
  17. ∫ cot ⁡ x d x = ln ⁡ ∣ sin ⁡ x ∣ + C , \displaystyle\int\cot x\mathrm{d}x=\ln|\sin x|+C,
  18. ∫ sec ⁡ x d x = ln ⁡ ∣ sec ⁡ x + tan ⁡ x ∣ + C , \displaystyle\int\sec x\mathrm{d}x=\ln|\sec x+\tan x|+C,
  19. ∫ csc ⁡ x d x = ln ⁡ ∣ csc ⁡ x − cot ⁡ x ∣ + C , \displaystyle\int\csc x\mathrm{d}x=\ln|\csc x-\cot x|+C,
  20. ∫ d x a 2 + x 2 = 1 a arctan ⁡ x a + C , \displaystyle\int\cfrac{\mathrm{d}x}{a^2+x^2}=\cfrac{1}{a}\arctan\cfrac{x}{a}+C,
  21. ∫ d x x 2 − a 2 = 1 2 a ln ⁡ ∣ x − a x + a ∣ + C , \displaystyle\int\cfrac{\mathrm{d}x}{x^2-a^2}=\cfrac{1}{2a}\ln|\cfrac{x-a}{x+a}|+C,
  22. ∫ d x a 2 − x 2 = arcsin ⁡ x a + C , \displaystyle\int\cfrac{\mathrm{d}x}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin\cfrac{x}{a}+C,
  23. ∫ d x x 2 + a 2 = ln ⁡ ( x + x 2 + a 2 ) + C , \displaystyle\int\cfrac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2+a^2}}=\ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C,
  24. ∫ d x x 2 − a 2 = ln ⁡ ∣ x + x 2 − a 2 ∣ + C , \displaystyle\int\cfrac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2-a^2}}=\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C,
  25. I n = ∫ 0 π 2 cos ⁡ m u d u = ∫ 0 π 2 sin ⁡ m u d u = { m − 1 m ⋅ m − 3 m − 2 ⋅ ⋯ ⋅ 1 2 ⋅ π 2 , m 为正偶数, m − 1 m ⋅ m − 3 m − 2 ⋅ ⋯ ⋅ 2 3 , m 为大于1的正奇数, = { 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ⋯ ⋅ ( m − 1 ) 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ ⋯ ⋅ m ) ⋅ π 2 , m 为正偶数, 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ ⋯ ⋅ ( m − 1 ) 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ⋯ ⋅ m , m 为大于1的奇数. \begin{aligned}I_n&=\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_0\cos^{m}u\mathrm{d}u=\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_0\sin^{m}u\mathrm{d}u\\&=\begin{cases}\cfrac{m-1}{m}\cdot\cfrac{m-3}{m-2}\cdot\cdots\cdot\cfrac{1}{2}\cdot\cfrac{\pi}{2},&\qquad m\text{为正偶数,}\\ \cfrac{m-1}{m}\cdot\cfrac{m-3}{m-2}\cdot\cdots\cdot\cfrac{2}{3},&\qquad m\text{为大于1的正奇数,} \end{cases}\\&=\begin{cases}\cfrac{1\cdot3\cdot5\cdot\cdots\cdot (m-1)}{2\cdot4\cdot6\cdot\cdots\cdot m)}\cdot\cfrac{\pi}{2},&\qquad m\text{为正偶数,}\\ \cfrac{2\cdot4\cdot6\cdot\cdots\cdot(m-1)}{1\cdot3\cdot5\cdot\cdots\cdot m},&\qquad m\text{为大于1的奇数.}\end{cases}\end{aligned}

附二  三角函数公式

  1. tan ⁡ α cot ⁡ α = 1 , \tan\alpha\cot\alpha=1,
  2. sin ⁡ α csc ⁡ α = 1 , \sin\alpha\csc\alpha=1,
  3. cos ⁡ α sec ⁡ α = 1 , \cos\alpha\sec\alpha=1,
  4. tan ⁡ α = sin ⁡ α cos ⁡ α , \tan\alpha=\cfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha},
  5. cot ⁡ α = cos ⁡ α sin ⁡ α , \cot\alpha=\cfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha},
  6. sin ⁡ 2 α + cos ⁡ 2 α = 1 , \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1,
  7. 1 + tan ⁡ 2 α = sec ⁡ 2 α , 1+\tan^2\alpha=\sec^2\alpha,
  8. 1 + cot ⁡ 2 α = csc ⁡ 2 α , 1+\cot^2\alpha=\csc^2\alpha,
  9. tan ⁡ ( α + β ) = tan ⁡ α + tan ⁡ β 1 − tan ⁡ α tan ⁡ β , \tan(\alpha+\beta)=\cfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta},
  10. tan ⁡ ( α − β ) = tan ⁡ α − tan ⁡ β 1 + tan ⁡ α tan ⁡ β , \tan(\alpha-\beta)=\cfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta},
  11. cot ⁡ ( α + β ) = cot ⁡ α cot ⁡ β − 1 cot ⁡ α + cot ⁡ β , \cot(\alpha+\beta)=\cfrac{\cot\alpha\cot\beta-1}{\cot\alpha+\cot\beta},
  12. cot ⁡ ( α − β ) = cot ⁡ α cot ⁡ β + 1 cot ⁡ α − cot ⁡ β , \cot(\alpha-\beta)=\cfrac{\cot\alpha\cot\beta+1}{\cot\alpha-\cot\beta},
  13. sin ⁡ 2 α = 2 sin ⁡ α cos ⁡ α , \sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha,
  14. cos ⁡ 2 α = cos ⁡ 2 α − sin ⁡ 2 α = 2 cos ⁡ 2 α − 1 = 1 − 2 sin ⁡ 2 α , \cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha,
  15. tan ⁡ 2 α = 2 tan ⁡ α 1 − tan ⁡ 2 α , \tan2\alpha=\cfrac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha},
  16. sin ⁡ 3 α = 3 sin ⁡ α − 4 sin ⁡ 3 α , \sin3\alpha=3\sin\alpha-4\sin^3\alpha,
  17. cos ⁡ 3 α = 4 cos ⁡ 3 α − 3 cos ⁡ α , \cos3\alpha=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha,
  18. sin ⁡ α = 2 tan ⁡ α 2 1 + tan ⁡ 2 α 2 , \sin\alpha=\cfrac{2\tan\cfrac{\alpha}{2}}{1+\tan^2\cfrac{\alpha}{2}},
  19. cos ⁡ α = 1 − tan ⁡ 2 α 2 1 + tan ⁡ 2 α 2 \cos\alpha=\cfrac{1-\tan^2\cfrac{\alpha}{2}}{1+\tan^2\cfrac{\alpha}{2}}
  20. sin ⁡ α sin ⁡ β = 1 2 [ cos ⁡ ( α − β ) − cos ⁡ ( α + β ) ] , \sin\alpha\sin\beta=\cfrac{1}{2}[\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)],
  21. cos ⁡ α cos ⁡ β = 1 2 [ cos ⁡ ( α + β ) + cos ⁡ ( α − β ) ] , \cos\alpha\cos\beta=\cfrac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)],
  22. sin ⁡ α cos ⁡ β = 1 2 [ sin ⁡ ( α + β ) + sin ⁡ ( α − β ) ] , \sin\alpha\cos\beta=\cfrac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)],
  23. cos ⁡ α sin ⁡ β = 1 2 [ sin ⁡ ( α + β ) − sin ⁡ ( α − β ) ] , \cos\alpha\sin\beta=\cfrac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)],
  24. sin ⁡ α + sin ⁡ β = 2 sin ⁡ ( α + β 2 ) cos ⁡ ( α − β 2 ) , \sin\alpha+\sin\beta=2\sin\left(\cfrac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\cfrac{\alpha-\beta}{2}\right),
  25. sin ⁡ α − sin ⁡ β = 2 cos ⁡ ( α + β 2 ) sin ⁡ ( α − β 2 ) , \sin\alpha-\sin\beta=2\cos\left(\cfrac{\alpha+\beta}{2}\right)\sin\left(\cfrac{\alpha-\beta}{2}\right),
  26. cos ⁡ α + cos ⁡ β = 2 cos ⁡ ( α + β 2 ) cos ⁡ ( α − β 2 ) , \cos\alpha+\cos\beta=2\cos\left(\cfrac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\cfrac{\alpha-\beta}{2}\right),
  27. cos ⁡ α − cos ⁡ β = − 2 sin ⁡ ( α + β 2 ) sin ⁡ ( α − β 2 ) , \cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\left(\cfrac{\alpha+\beta}{2}\right)\sin\left(\cfrac{\alpha-\beta}{2}\right),
  28. ∫ 0 π 2 f ( sin ⁡ x ) d x = ∫ 0 π 2 f ( cos ⁡ x ) d x , \displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_0f(\sin x)\mathrm{d}x=\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_0f(\cos x)\mathrm{d}x,
  29. ∫ 0 π x f ( sin ⁡ x ) d x = π 2 ∫ 0 π f ( sin ⁡ x ) d x , \displaystyle\int^{\pi}_0xf(\sin x)\mathrm{d}x=\cfrac{\pi}{2}\displaystyle\int^{\pi}_0f(\sin x)\mathrm{d}x,
  30. ( ∫ a b f ( x ) g ( x ) d x ) 2 ⩽ ∫ a b f 2 ( x ) d x ⋅ ∫ a b g 2 ( x ) d x , \left(\displaystyle\int^b_af(x)g(x)\mathrm{d}x\right)^2\leqslant\displaystyle\int^b_af^2(x)\mathrm{d}x\cdot\displaystyle\int^b_ag^2(x)\mathrm{d}x, （ f ( x ) f(x) 、 g ( x ) g(x) 在区间 [ a , b ] [a,b] 上均连续，柯西-施瓦茨不等式）
  31. ( ∫ a b [ f ( x ) + g ( x ) ] 2 d x ) 1 2 ⩽ ( ∫ a b f 2 ( x ) d x ) 1 2 + ( ∫ a b g 2 ( x ) d x ) 1 2 , \left(\displaystyle\int^b_a[f(x)+g(x)]^2\mathrm{d}x\right)^{\cfrac{1}{2}}\leqslant\left(\displaystyle\int^b_af^2(x)\mathrm{d}x\right)^{\cfrac{1}{2}}+\left(\displaystyle\int^b_ag^2(x)\mathrm{d}x\right)^{\cfrac{1}{2}}, （ f ( x ) f(x) 、 g ( x ) g(x) 在区间 [ a , b ] [a,b] 上均连续，闵可夫斯基不等式）
  32. e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x . e^{ix}=\cos x+i\sin x. （欧拉公式）

附三   Γ \Gamma 函数及其性质

  1. Γ ( s ) = ∫ 0 + ∞ e − x x s − 1 d x ( s > 0 ) , \Gamma(s)=\displaystyle\int^{+\infty}_0e^{-x}x^{s-1}\mathrm{d}x\qquad(s>0),
  2. Γ ( s + 1 ) = s Γ ( s ) ( s > 0 ) , \Gamma(s+1)=s\Gamma(s)\qquad(s>0),
  3. lim ⁡ s → 0 + Γ ( s ) → + ∞ , \lim\limits_{s\to0^+}\Gamma(s)\to+\infty,
  4. Γ ( s ) Γ ( 1 − s ) = π sin ⁡ π s ( 0 < s < 1 ) , \Gamma(s)\Gamma(1-s)=\cfrac{\pi}{\sin\pi s}\qquad(0<s<1),
  5. Γ ( 1 2 ) = π . \Gamma\left(\cfrac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}.

附四  定积分和导数在几何上的应用

  1. 曲率： K = ∣ y ′ ′ ∣ ( 1 + y ′ 2 ) 3 2 ; K=\cfrac{|y''|}{(1+y'^2)^{\frac{3}{2}}};
  2. 曲率半径： ρ = 1 K = ( 1 + y ′ 2 ) 3 2 ∣ y ′ ′ ∣ ; \rho=\cfrac{1}{K}=\cfrac{(1+y'^2)^{\frac{3}{2}}}{|y''|};
  3. 曲线 y = f ( x ) ( f ( x ) ⩾ 0 ) y=f(x)(f(x)\geqslant0) 及直线 x = a , x = b ( a < b ) x=a,x=b(a<b) 与 x x 轴所围成的曲边梯形面积 A A ： A = ∫ a b f ( x ) d x ; A=\displaystyle\int^b_af(x)\mathrm{d}x;
  4. 极坐标系下曲线 ρ = ρ ( θ ) ( ρ ( θ ) ⩾ 0 ) \rho=\rho(\theta)(\rho(\theta)\geqslant0) 及射线 θ = α , θ = β ( 0 < β − α ⩽ 2 π ) \theta=\alpha,\theta=\beta(0<\beta-\alpha\leqslant2\pi) 曲边扇形的面积 A A ： A = 1 2 ∫ α β [ ρ ( θ ) ] 2 d θ ; A=\cfrac{1}{2}\displaystyle\int^\beta_\alpha[\rho(\theta)]^2\mathrm{d}\theta;
  5. 连续曲线 y = f ( x ) y=f(x) 、直线 x = a x=a 、 x = b x=b 及 x x 轴所围成的曲边梯形绕轴转一周形成的旋转体体积 V V ： V = π ∫ a b [ f ( x ) ] 2 d x V=\pi\displaystyle\int^b_a[f(x)]^2\mathrm{d}x
  6. 设为垂直于定轴轴的截面面积函数为 A ( x ) A(x) ，则该立方体在区间 [ a , b ] [a,b] 之间的体积 V V ： V = ∫ a b A ( x ) d x ; V=\displaystyle\int^b_aA(x)\mathrm{d}x;
  7. 曲线弧长 s s ： s = ∫ a b 1 + y ′ 2 d x ; s=\displaystyle\int^b_a\sqrt{1+y'^2}\mathrm{d}x;
  8. 参数方程 { x = φ ( t ) , y = ψ ( t ) ( α ⩽ t ⩽ β ) \begin{cases}x=\varphi(t),\\y=\psi(t)\end{cases}\quad(\alpha\leqslant t\leqslant\beta) 的曲线弧长 s s ： s = ∫ α β φ ′ 2 ( t ) + ψ 2 ( t ) d t ; s=\displaystyle\int^\beta_\alpha\sqrt{\varphi'^2(t)+\psi^2(t)}\mathrm{d}t;
  9. 极坐标系下曲线 ρ = ρ ( θ ) ( α ⩽ θ ⩽ β ) \rho=\rho(\theta)\quad(\alpha\leqslant\theta\leqslant\beta) 的曲线弧长 s s ： s = ∫ α β ρ 2 ( θ ) + ρ ′ 2 ( θ ) d θ . s=\displaystyle\int^\beta_\alpha\sqrt{\rho^2(\theta)+\rho'^2(\theta)}\mathrm{d}\theta.

未完待续。。。

古月忻
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