题目描述
【leetcode】204. 计数质数( Count Primes )
统计所有小于非负整数 n 的质数的数量。
示例:
输入: 10
输出: 4
解释: 小于 10 的质数一共有 4 个, 它们是 2, 3, 5, 7
第一次解答
思路
质数是只能被1和本身整除,并且0不是质数。
判断数字k是否是质数,只需要遍历 i
[2, sqrt(k)],若k不能该区间内的任何一个i整除,则k为质数,否则哪怕有一个i能整出,就是质数。
为什么 i 只遍历到sqrt(k)?因为若有 i>sqrt(k) 能把k整除,设结果为out,则有 k / i = out,余数为0。那么out必定 小于等于sqrt(k),也就能在[2, sqrt(k)]区间内检测出来,不必遍历超过sqrt(k)。
但是这样写出来还是超时,下面介绍厄拉多塞筛法
。
首先得知道算术基本定理
:
算术基本定理可表述为:任何一个大于1的自然数 N,如果N不为质数,那么N可以唯一分解成有限个质数的乘积
。
根据这个定理,再讲厄拉多塞筛法
。厄拉多塞筛法
步骤是:
每找到一个质数p,那么2p, 3p, 4p, … Np都不是质数,不需要再遍历了。直到遍历完区间 [2, sqrt(k)] ,我们就找出了所有的质数。
注意:
注意i*i 溢出
代码:
#include <vector>
class Solution {
public:
// 判断一个数是否是质数
bool isPrime(int k){
// 遍历i从2到sqrt(k)即可判断一个数是否是质数
for(int i=2; (unsigned int)i*i <= k; ++i){
if(k%i == 0)
return false;
}
return true;
}
int countPrimes(int n) {
vector<bool> isnot_prime(n, false);
int count = 0;
for(int i=2; i<n; ++i){
if(true == isnot_prime[i] )
continue;
if(isPrime(i)){
count++;
int j = 2*i;
while(j < n){
isnot_prime[j] = true;
j += i;
}
}
}
return count;
}
};
结果:
第二次解答
在解答1上,在进一步的,如果我们从2开始执行厄拉多塞筛法
,我们判断某个数k是不是质数时,还需要遍历 i
[2, sqrt(k)] 整除吗?其实不需要,初始时默认所有数为质数,第一个2一定是质数,这样就筛选掉了间隔为2的非质数4,6,8,…,从而下一个找到的3,5,7,都一定是质数,换句话说,采用厄拉多塞筛法
,我从2往后遍历,遇到的每一个没被筛掉的数k都一定是质数,不需要再遍历i
[2, sqrt(k)] 整除了。
代码:
#include <vector>
class Solution {
public:
int countPrimes(int n) {
vector<bool> isnot_prime(n, false);
int count = 0;
for(int i=2; i<n; ++i){
if(true == isnot_prime[i] )
continue;
count++;
int j = 2*i;
while(j < n){
isnot_prime[j] = true;
j += i;
}
}
return count;
}
};
结果: