并查集

Disjoint Set，实际上字面翻译是不相交的集合。

中文名 “并查集” 实际上源自其基本操作：

• union(X,Y)：求并集，指的是包含 X 的集合与包含Y的集合的并集
• find(X)： 查元素 X 属于哪个集合

python 实现

一种简单的实现方法是利用数组记录每个元素的集合名，但这样效率太低。

在求并集的时候需要遍历整个数组来对涉及到的集合改名。如下图所示：

优化的策略为改用树结构，以根节点来表示集合名!

如此一来，并、查两个操作等价于：

• union(x,y)：将 x 的根节点指向 y 的根节点
• find(x): 找出 x 的根节点

思路清晰，方法也简单：

class DisjointSet:   
	def __init__(self, n):
		self.makeSet(n)

	def makeSet(self, n):
		self.S = [x for x in range(n)]	
 
	def find(self, X):
		return X if(self.S[X] == X) else self.FIND(self.S[X])
		
	def union(self, X, Y):
		rootX, rootY = self.find(X), self.find(Y)
		self.S[rootX] = rootY
	
	def sameSet(self, X, Y):
		return self.find(X) == self.find(Y)

测试

def test_disjointSet():
	uf = DisjointSet(9)
	uf.union(1, 2)
	uf.union(3, 4)
	uf.union(5, 6)
	uf.union(2, 4)
	assert(not uf.sameSet(1, 5))
	assert(not uf.sameSet(2, 6))
	assert (uf.sameSet(1, 3))
	assert (uf.sameSet(1, 4))

优化

上面的实现是有缺陷的：没有对树做平衡，可能导致某棵树的某一分支过长，影响查询效率。

试想，如果构造的树退化成一个单项链表，那么查询最末端的叶子节点的集合名的时间代价是 N, 整条链的平均 find 代价也变成了 $O(N)$

一种启发式的优化策略是在求并(union)的时候，把元素少的集合 指向 元素多的集合，而不是反之。

这种策略成为 union by size (union by weight)

另一种策略是 union by height， 即把高度小的集合树 指向 高度大的集合树

可以证明，两种策略都可以使集合树的高度保持在 $O(\log N)$

实现上述策略很简单，只要把根节点的值改成负数，用其绝对值代表集合大小即可！

union by size

class DisjointSet:
	def __init__(self, n):
		self.makeSetBySize(n)

	def makeSet(self, n):
		self.S = [-1 for _ in range(n)]

	def find(self, X):
		return X if (self.S[X] < 0) else self.find(self.S[X])

	def unionBySize(self, X, Y):
		rootX, rootY = self.find(X), self.find(Y)
		if(self.S[rootY] < self.S[rootX]):
			self.S[rootY] += self.S[rootX]
			self.S[rootX] = rootY
		else:
			self.S[rootX] += self.S[rootY]
			self.S[rootY] = rootX

路径压缩

我们还可以继续优化，可以在每次查找时，把路径上的节点都直接指向根节点，在下次 find 该路径上的节点的时间复杂度从 $O(\log N)$ 变成了 $O(1)$ !!!

	def findBySize(self, X):
		if self.S[X] < 0:
			return X
		self.S[X] = self.findBySize(self.S[X])
		return self.S[X]