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最初还是要来看看目标是什么, 我们来看看这个命题的具体陈述.

已知 $P(x)$是定义在域 $K$上的 $n$阶多项式,那么.

$\xi \in : P(\xi)=0 \Leftrightarrow P(x)=(x-\xi)Q(x)$

其中, $Q(x)$是一个定义在 $K$上的 $n-1$阶多项式.

证明过程:

• 根据多项式除法,如果我们对于已知的 $\xi$.我们可以用除法得出下面的等式

  $P(x)=Q(x)(x-\xi)+R(x)$

  且 $R(x)$的次数低于1.这样以来其实 $R(x)=a$,其中 $a\in K$是一个常数.

• 将 $\xi$带入上式可得
  $P(\xi)=0=Q(\xi)(\xi-\xi)+R(\xi)=Q(\xi)\cdot 0+R(\xi)$

  由此可见 $R(x)=a=0$

• 如果我们 $\xi_1, \xi_2$,是 $P(x)$的根.我们可以证明
  $P(x)=(x-\xi_1)(x-\xi_2)D(x).$ 其中 $D(x)$是一个 $n-2$阶的多项式.

  • 根据前面e的证明我们可以知道 $P(x)=(x-\xi_1)Q(x)$

  • 带入 $\xi_2$ $P(\xi_2)=(\xi_2-\xi_1)Q(\xi_2)=0$
    因为 $\xi_2-\xi_1\neq 0$,那么 $Q(\xi_2)=0$.这样我们就可以再次运用上面的证明结果.最终原式得证.

原式得证.