例题1:输出前m大的数
描述
给定一个数组包含n个元素,统计前m大的数并且把这m个数从大到小输出。
输入
第一行包含一个整数n,表示数组的大小。n < 100000。
第二行包含n个整数,表示数组的元素,整数之间以一个空格分开 。每个整数的绝对值不超过100000000。
第三行包含一个整数m。m < n。
输出
从大到小输出前m大的数,每个数一行。
排序后再输出,复杂度 O(nlogn)
用分治处理:复杂度 O(n+mlogm)
思路:把前m大的都弄到数组最右边,然后对这最右边m个元素排序,再输出
关键 :O(n)时间内实现把前m大的都弄到数组最右边
引入操作 arrangeRight(k): 把数组(或数组的一部分)前k大的都弄到最右边
如何将前k大的都弄到最右边
1) 设key=a[0], 将key挪到适当位置,使得比key小的元素都在key左边,比key大的元素都在key右边(线性时间完成)
输出n个数中前m个大的数可以采用先排序在取前m个大的数,这个最好的时间复杂度为O(nlogn)。可以利用快排的思想加快时间复杂度,下面算法时间复杂度为O(n+mlogm),若m<<n时,则时间复杂度约为O(n)。
代码段
#include<iostream>
using namespace std;
int a[100];
void swap(int &a, int &b)
{
int temp;
temp = b;
b = a;
a = temp;
}
void QuickSort(int a[], int s, int e, int m)
{
if (s >= e)
return;
int k = a[s];
int i = s, j = e;
while (i != j)
{
if (j > i && a[j] > k)
j--;
swap(a[i], a[j]);
if (j > i && a[i] < k)
i++;
swap(a[i], a[j]);
}
int b = (e - j) + 1; // 判断右边大的数有几个
if (m > b) // 若小于m个,在左边再取m-b个
QuickSort(a, s, i, m - b);
if (m < b) // 若大于m个,在右边再去m个
QuickSort(a, j + 1, e, m);
}
int main()
{
int m,n;
cin >> n >> m;
for (int i = 0; i < n; i++)
cin >> a[i];
QuickSort(a, 0, n - 1, m);
for (int i = n-1; i >= n-m; i--)
cout << a[i] << ' ';
cout << endl;
system("pause");
}
例题2:求排列的逆序数
考虑1,2,…,n (n <= 100000)的排列i1,i2,…,in,如果其中存在j,k,满足 j < k 且 ij > ik, 那么就称(ij,ik)是这个排列的一个逆序。
一个排列含有逆序的个数称为这个排列的逆序数。例如排列 263451 含有8个逆序(2,1),(6,3),(6,4),(6,5),(6,1),(3,1),(4,1),(5,1),因此该排列的逆序数就是8。
现给定1,2,…,n的一个排列,求它的逆序数。
笨办法:O(n2)
分治:O(nlogn):
1) 将数组分成两半,分别求出左半边的逆序数和右半边的逆序数
2) 再算有多少逆序是由左半边取一个数和右半边取一个数构成(要求O(n)实现的关键:左半边和右半边都是排好序的。比如,都是从大到小排序的。这样,左右半边只需要从头到尾各扫一遍,就可以找出由两边各取一个数构成的逆序个数
总结:
由归并排序改进得到,加上计算逆序的步骤
MergeSortAndCount: 归并排序并计算逆序数
#include <iostream>
using namespace std;
long long sum = 0;//逆序数的个数
void MergeSort(int * arr,int s,int e,int *temp);//归并排序
void MergeAndCountNum(int * arr,int s,int mid,int e,int *temp); //归并有序序列并计算逆序数的个数
int main(){
int a[100001],b[100001],n;
cin >> n;
for(int i=0;i<n;++i)
cin >> a[i];
MergeSort(a,0,n-1,b);
cout << sum ;
return 0;
}
void MergeSort(int * arr,int s,int e,int * temp){//归并排序
if(s < e){
int mid = s + (e - s)/2;
MergeSort(arr,s,mid,temp);
MergeSort(arr,mid+1,e,temp);
MergeAndCountNum(arr,s,mid,e,temp);
}
}
void MergeAndCountNum(int * arr,int s,int mid,int e,int * temp){//归并有序序列并计算逆序数的个数
int p1 = s, p2 = mid +1,index = 0;
while(p1 <= mid && p2 <= e){
if(arr[p1] < arr[p2])
temp[index++] = arr[p1++];
else{
temp[index++] = arr[p2++];
sum += mid - p1 +1;
}
}
while(p1 <= mid)
temp[index++] = arr[p1++];
while(p2 <= e)
temp[index++] = arr[p2++];
for(int i = 0;i<e - s +1;++i)
arr[s+i] = temp[i];
}