基本介绍
(1)之前学习的是二叉排序树(BST),有优点也有缺点
优点:融合了数组和链表的优点,查找和插入删除的速度都很快
缺点:如果插入的是有序数列,那么二叉排序树就会失去平衡,退化成一个链表。
这样插入的速度不受影响,但是查询的速度大大降低
针对上面二叉排序树存在的不足,提出解决方案——平衡二叉树
(2)平衡二叉树基本介绍
1)也叫做二叉搜索树,AVL树,可以保证查询效率较高
2)特点:它是一棵空树,或者它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1,并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树
平衡二叉树的常用实现方法有“红黑树、AVL、替罪羊树、Treap、伸展树”
(3)应用案例-单旋转(左旋转)
当右子树的高度比左子树高度差超出1的时候,就要左旋转,降低右子树的高度,使这棵树平衡
1)给你一个数列,创建出对应的平衡二叉树,数列
2)思路分析:
1-创建一个新节点,值等于当前根节点的值
并且把当前根节点的左子树设置为新节点的左子树
2-把新节点的右子树设置为当前节点右子树的左子树
3)代码实现
需要画图整理左旋转和右旋转的情况
左旋转和右旋转都是单旋转,就是说一次旋转就能得到一个平衡二叉树
但是有些时候,单旋转不能完成平衡二叉树的转换。比如数列{10,11,7,6,8,9}
问题分析
1-当符合右旋转的条件时
2-如果它的左子树的右子树高度大于它的右子树的高度
3-先对当前这个节点的左节点进行左旋转
4-再对当前节点进行右旋转的操作即可
创建节点类
class Node {
int value;
//这两个左右子节点就是创建节点包含的内容,可以调用
Node left;
Node right;
public Node(int value) {
this.value = value;
}
@Override
public String toString() {
return "Node{" +
"value=" + value +
'}';
}
//返回左子树的高度
public int leftHeight() {
if (left == null) {
return 0;
}
return left.height();
}
//返回右子树的高度
public int rightHeight() {
if (right == null) {
return 0;
}
return right.height();
}
//返回当前节点的高度,以该节点为根节点的树的高度
public int height() {
//如果节点是空的,那就为0,如果不为空,那就取高度值,并且取最大值
//+1是因为自己本身还有一层
return Math.max(left == null ? 0 : left.height(), right == null ? 0 : right.height()) + 1;
}
//左旋转方法
private void leftRotate() {
//1-创建一个新的节点,这个节点的值是当前根节点root的值
Node newNode = new Node(value);
//2-把新的节点的左子树设置成当前节点左子树
newNode.left = left;
//3-把新的节点的右子树设置成当前节点的右子树的左子树
newNode.right = right.left;
//4-把当前节点的值替换成右子树的值
value = right.value;
//5-把当前节点的右子树设置成当前节点右子树的右子树
right = right.right;
//6-把当前节点的左子树(左子节点)设置成新的节点
left = newNode;
}
//右旋转方法
private void rightRotate() {
//1-创建新的节点
Node newNode = new Node(value);
newNode.right = right;
newNode.left = left.right;
value = left.value;
left = left.left;
right = newNode;
}
/**
* 给出目标节点的值value,如果能找到就返回这个Node
*
* @MethodName: search
* @Author: AllenSun
* @Date: 2019/11/12 21:51
*/
public Node search(int value) {
//判断是否能找到
if (value == this.value) {
return this;
} else if (value < this.value) {
//如果小,那就往左子树去找
if (this.left == null) {
return null;
}
return this.left.search(value);
} else {
//如果不小于,那就去右子树查找
if (this.right == null) {
return null;
}
return this.right.search(value);
}
}
//查找要删除节点的父节点
/**
* value是要删除节点的值
* Node是找到后要返回的父节点,没找到就返回null
*
* @MethodName: searchParent
* @Author: AllenSun
* @Date: 2019/11/12 21:35
*/
public Node searchParent(int value) {
if ((this.left != null && this.left.value == value) || (this.right != null && this.right.value == value)) {
return this;
} else {
//如果查找的值小于当前节点的值,并且当前节点的左子节点不为空
if (value < this.value && this.left != null) {
return this.left.searchParent(value);//向左子树递归查找
} else if (value >= this.value && this.right != null) {
//如果大,并且右子节点不为空,那就向右子树递归查找
return this.right.searchParent(value);//向右子树递归查找
} else {
return null;//没有找到
}
}
}
//递归的形式添加节点,注意需要满足二叉排序树的要求
/**
* 添加节点的方法
*
* @MethodName: add
* @Author: AllenSun
* @Date: 2019/11/12 21:52
*/
public void add(Node node) {
//先判断添加的节点是不是空的
if (node == null) {
return;
}
//判断传入的节点的值,和当前子树的根节点的值关系,如果小的话就往左子树去,如果大的话就往右子树去
if (node.value < this.value) {
//如果当前节点左子节点为null,那就可以直接赋值
if (this.left == null) {
this.left = node;
} else {
//如果不是空的,那就得递归,继续跟左子树比较,然后添加
this.left.add(node);
}
} else {
//如果当前节点右子节点为null,那就可以直接赋值
if (this.right == null) {
this.right = node;
} else {
//如果不是空的,那就得递归,继续跟右子树比较,然后添加
this.right.add(node);
}
}
//当添加完一个节点后,如果(右子树的高度-左子树的高度)>1,就左旋转
if (rightHeight() - leftHeight() > 1) {
//如果它的左子树的右子树高度大于它的左子树的高度
if (right != null && right.leftHeight() > right.rightHeight()) {
//先对右子树进行右旋转
right.rightRotate();
//再对当前节点进行左旋转
leftRotate();
} else {
//单旋转
leftRotate();
}
return;//必须要
}
//当添加完一个节点后,如果(左子树的高度-右子树的高度)>1,就右旋转
if (leftHeight() - rightHeight() > 1) {
if (left != null && left.rightHeight() > left.leftHeight()) {
//双旋转
//先对当前节点的左节点(左子树)进行左旋转
left.leftRotate();
//再对当前节点进行右旋转
rightRotate();
} else {
// 单旋转
rightHeight();
}
}
}
/**
* 中序遍历
*
* @MethodName: infixOrder
* @Author: AllenSun
* @Date: 2019/11/12 21:51
*/
public void infixOrder() {
//如果左子节点不是空的,那就递归继续往左遍历
if (this.left != null) {
this.left.infixOrder();
}
System.out.println(this);
if (this.right != null) {
this.right.infixOrder();
}
}
}
创建平衡二叉树
//创建AVL树
class AVLTree {
private Node root;
public Node getRoot() {
return root;
}
public void setRoot(Node root) {
this.root = root;
}
//查找要删除的节点,把删除节点的两个方法封装在一起
public Node search(int value) {
if (root == null) {
return null;
} else {
//不为空,那就可以查找
return root.search(value);
}
}
//再封装查找父节点的方法
public Node searchParent(int value) {
if (root == null) {
return null;
} else {
return root.searchParent(value);
}
}
//写一个找子树中最小节点的方法(当删除节点有两个子节点时,要找最小节点值)
//传入一个节点node,当做是二叉排序树的根节点
//返回的是以node为根节点的二叉排序树的最小节点的值
public int delRightTreeMin(Node node) {
Node target = node;
//循环的查找左节点,就会找到最小值
while (target.left != null) {
target = target.left;
}
//这时target就指向了最小节点
//删除最小节点
delNode(target.value);
return target.value;
}
//删除节点
public void delNode(int value) {
if (root == null) {
return;
} else {
//1-先找到要删除的节点
Node targetNode = search(value);
//如果没有找到要删除的节点
if (targetNode == null) {
return;
}
//如果我们发现targetNode没有父节点,比如删除的就是根节点,或者说当前二叉排序树只有一个节点
if (root.left == null && root.right == null) {
//只有一个节点,并且就是我们要找的节点,直接删除就行了,删除也就是置为空
root = null;
}
//2-去找到targetNode的父节点
Node parent = searchParent(value);
//如果删除的节点就是叶子结点,那就可以直接删除置为空,不用再去考虑它的子节点如何处置
if (targetNode.left == null && targetNode.right == null) {
//判断targetNode父节点的左子节点,还是右子节点
//如果是父节点的左子节点,直接置为空
if (parent.left != null && parent.left.value == value) {
parent.left = null;
} else if (parent.right != null && parent.right.value == value) {
parent.right = null;
}
// targetNode=null;//不能直接这样置为空,这样只是空节点,并没有删除节点
} else if (targetNode.left != null && targetNode.right != null) {
//就说明targetNode有两个子树
//调用写的delRightTreeMin方法,从右子树找最小的取代要删除的节点
int minVal = delRightTreeMin(targetNode.right);
targetNode.value = minVal;
} else {
//排除上面两种情况,剩下的自然就是targetNode只有一棵子树
//先判断targetNode的子节点是左子节点还是右子节点
//1-targetNode有左子节点
if (targetNode.left != null) {
//如果targetNode的父节点是空的,说明这个点就是根节点,它没有父节点
if (parent != null) {
//1-1-如果targetNode是parent的左子节点
if (parent.left.value == value) {
parent.left = targetNode.left;//这样就把targetNode删除了
} else {
//1-2-targetNode是parent的右子节点
parent.right = targetNode.left;//这样就把targetNode删除了
}
} else {
root = targetNode.left;
}
}
//2-targetNode有右子节点
if (targetNode.right != null) {
if (parent != null) {
//2-1-如果targetNode是parent的左子节点
if (parent.left.value == value) {
parent.left = targetNode.right;
} else {
//2-2-如果targetNode是parent的右子节点
parent.right = targetNode.right;
}
} else {
root = targetNode.right;
}
}
}
}
}
//添加节点的方法,root为空就直接放root位置,不为空就调用add方法往左右子节点放
public void add(Node node) {
if (root == null) {
root = node;//如果root为空则直接让root指向node
} else {
root.add(node);
}
}
//中序遍历
public void infixOrder() {
if (root != null) {
root.infixOrder();
} else {
System.out.println("二叉排序树为空,不能遍历");
}
}
//
}
测试类
public class AVLTreeDemo {
public static void main(String[] args) {
// int[] arr = {4, 3, 6, 5, 7, 8};//测试左旋转的数组
// int[] arr = {10, 12, 8, 9, 7, 6};//测试右旋转的数组
int[] arr = {10, 11, 7, 6, 8, 9};//测试双旋转的数组
//创建一个AVLTree对象
AVLTree avlTree = new AVLTree();
//开始往树里添加节点
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
avlTree.add(new Node(arr[i]));
}
//遍历
System.out.println("中序遍历");
avlTree.infixOrder();
System.out.println("在平衡处理后————");
System.out.println("树的高度为:" + avlTree.getRoot().height());//处理前高度为4,处理后高度为3
System.out.println("树的左子树高度为:" + avlTree.getRoot().leftHeight());//处理前高度为1,处理后高度为2
System.out.println("树的右子树高度为:" + avlTree.getRoot().rightHeight());//处理前高度为3,处理后高度为2
System.out.println("当前的根节点为:" + avlTree.getRoot());
System.out.println("根节点的左子节点为:" + avlTree.getRoot().left);
}
}