引例：有一个二元一次方程组 $ax+by=c$，求它的通解。
首先，我们可以求出一组解来，如$\begin{cases}x=e\\y=f\end{cases}$。
考虑各加上一个偏移量来构造新解，如：$\begin{cases}x=e+p_x\\y=f+p_y\end{cases}$。
回代得：$a\times (e+p_x)+b\times (f+p_y)=c$。
去括号并整理得：$a\times e+b\times f+a\times p_x+b\times p_y=c$。
显然如果想让 $c$ 不受影响，明显应使 $a\times p_x+b\times p_y=0$，即 $a\times p_x=-b\times p_y$。
若 $a$ 与 $b$ 互质，则 $p_x\bmod b=p_y\bmod a=0$，即 $p_x=k\times b,p_y=-k\times a$。
也就是说，若 $a$ 与 $b$ 互质，则有通解 $\begin{cases}x=e+k\times b\\y=f-k\times a\end{cases}$。
那，若 $a$ 与 $b$ 不互质，怎么办呢？
在求到这个柿子时：$a\times p_x=-b\times p_y$，我们应当对这个柿子作出一定处理。
对左右两边同时除以 $\gcd(a,b)$，得 $\frac{a}{\gcd(a,b)}\times p_x=-\frac{b}{\gcd(a,b)}\times p_y$。
可得：$p_x=k\times \frac{b}{\gcd(a,b)},p_y=-k\times \frac{a}{\gcd(a,b)}$。
于是，我们就有了通解：$\begin{cases}x=e+k\times \frac{b}{\gcd(a,b)}\\y=f-k\times \frac{a}{\gcd(a,b)}\end{cases}$。