蓝桥传纸条——动态规划（多线程DP）

题目

小渊和小轩是好朋友也是同班同学，他们在一起总有谈不完的话题。一次素质拓展活动中，班上同学安排做成一个m行n列的矩阵，而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端，因此，他们就无法直接交谈了。幸运的是，他们可以通过传纸条来进行交流。纸条要经由许多同学传到对方手里，小渊坐在矩阵的左上角，坐标(1,1)，小轩坐在矩阵的右下角，坐标(m,n)。从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。
在活动进行中，小渊希望给小轩传递一张纸条，同时希望小轩给他回复。班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次，也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙。反之亦然。
还有一件事情需要注意，全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用0表示），可以用一个0-100的自然数来表示，数越大表示越好心。小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这两条路径上同学的好心程度只和最大。现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的两条路径。

输入

输入第一行有2个用空格隔开的整数m和n，表示班里有m行n列（1<=m,n<=50）。
接下来的m行是一个m*n的矩阵，矩阵中第i行j列的整数表示坐在第i行j列的学生的好心程度。每行的n个整数之间用空格隔开。

输出

输出一行，包含一个整数，表示来回两条路上参与传递纸条的学生的好心程度之和的最大值。

样例输入

3 3
0 3 9
2 8 5
5 7 0

样例输出

数据范围

30%的数据满足：1<=m,n<=10
100%的数据满足：1<=m,n<=50

分析

本题是一个多线程动态规划，可看作是找到从左上角到右下角的两条不相交路径。
根据题意可得出状态转移方程：
dp[x1][y1][x2][y2]=max(dp[x1][y1-1][x2][y2-1],dp[x1][y1-1][x2-1][y2],dp[x1-1][y1][x2][y2-1],dp[x1-1][y1][x2-1][y2])+a[x1][y1]+a[x2][y2];//a[i][j]存权值
然而肯定是要优化的呀！这样做复杂度为O（n^4）。

优化

先附大佬链接点我.分析的很详细，我都能看懂
接下来讲的（~~翻译的~~ ）是此链接里的第二种优化方法，我觉得这个方法看起来比较顺眼哈哈哈~~
1、从点（1，1）出发，对于所有步数为S的位置，都有X+Y=S+2;
比方说从点（1，1）出发，走到（2，3）需要3步，走到（4，1）也需要3步，任意步数为3的位置，都有X+Y=3+2；
则可以根据这一规律，以走到右下角需要的步数为切入点优化，通过简化假设所从（1，1）点到（X，Y）点所走步数为K，则有K=X+Y；（K初始值为2即设在（1，1）点时已经走了2步，为了好列式子嘛~~）
各位看官请注意了，我们对上面的式子进行变形：Y=K-X，这么一来当K和X确定的时候，Y的值自然也就确定了。也就是说当步数为K，行数为X时，有且只有一个点与之对应，即（X，K-X）。
SO，状态方程可转变成：
dp[k][x1][x2]=max(dp[k-1][x1-1][x2],dp[k-1][x1-1][x2-1],dp[k-1][x1][x2],dp[k-1][x1][x2-1])+a[x1][k-x1]+a[x2][k-x2];
//dp记录当步数为K时（即走到第K步时），且路径1在X1行、路径2在X2行的时候的，两条路径权值之和的，最大值！！
2、且当X1=X2的时候，两条路径是相交的，因为K相同，X相同，他俩的Y也相同，所以走到同一个点上去了，这种情况不能要！！

关键代码为：

int DP() {
 for (int k = 2; k <= m + n - 1; k++) {
  for (int x1 = 1; x1 <=k; x1++) {//注意是x1<=k而不是x1<=m哦
   for (int x2 = 1; x2 <= k; x2++) {
    if (x1 == x2)//路径相同时
     continue;
    else
     dp[k][x1][x2] = maxx(dp[k - 1][x1][x2], dp[k - 1][x1][x2 - 1], dp[k - 1][x1 - 1][x2], dp[k - 1][x1 - 1][x2 - 1]) + a[x1][k - x1] + a[x2][k - x2];
   }
  }
 }
 return dp[m + n - 1][m][m - 1];
}

另附蓝桥AC代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<stdio.h>
using namespace std;
#define N 55
int a[N][N];
int dp[2 * N][N][N];
int n, m;
int maxx(int a1, int a2, int a3, int a4) {
 return max(max(a1, a2), max(a3, a4));
}
int DP() {
 for (int k = 2; k <= m + n - 1; k++) {
  for (int x1 = 1; x1 <=k; x1++) {
   for (int x2 = 1; x2 <= k; x2++) {
    if (x1 == x2)
     continue;
    else
     dp[k][x1][x2] = maxx(dp[k - 1][x1][x2], dp[k - 1][x1][x2 - 1], dp[k - 1][x1 - 1][x2], dp[k - 1][x1 - 1][x2 - 1]) + a[x1][k - x1] + a[x2][k - x2];
   }
  }
 }
 return dp[m + n - 1][m][m - 1];
}
int main() {
 //freopen("10.txt", "r",stdin);
 cin >> m >> n;
 memset(dp, 0, sizeof(dp));
 for (int i = 1; i <= m; i++) {
  for (int j = 1; j <= n; j++) {
   cin >> a[i][j];
  }
 }
 int ans = DP();
 cout << ans;
// fclose(stdin);
 return 0;
}

做完题后又发现另一个写的很不错的博客点我.
我一直对博客写的很好的大佬们充满敬意！！感谢你们！！！！
溜了溜了~~