统计量由来与定义

如前所述，在进行统计推断时，构造样本的适当的函数是关键，为此，我们给出下列定义.

定义：设$(X_1,X_2,...,X_n)$为总体$X$的一个样本，称此样本的任一不含总体分布未知参数的函数为该样本的统计量。

举例说明：设总体$X$服从正态分布，$E(X)=5$,$D(X)={\sigma }^2$,$\sigma$未知。$(X_1,X_2,...,X_n)$为总体$X$的一个样本，令：
$$\bar{X}=\frac{X_1+X_2+...+X_n}{n}$$
$$U=\frac{X_1+X_2+...+X_n}{n\sigma }$$
那么$\bar{X}$为该样本的统计量，而$U$不是，因为其表达式中含有了$X$的未知参数$\sigma$

常用的统计量

设$(X_1,X_2,...,X_n)$为总体$X$的一个样本

样本均值

称样本的算术平均值为样本均值，记为$\bar{X}$，即
$$\bar{X}=\frac{X_1+X_2+...+X_n}{n}$$

样本方差

样本方差是用来描述样本中诸分量与样本均值的均方差异的，它有两种定义方式。

未修正样本方差

$$S_0^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{\left(X_i-\bar{X}\right)}^2$$

修正样本方差

$$S_0^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n{\left(X_i-\bar{X}\right)}^2$$

由于存在数学关系$E(S^2)={\sigma }^2$(后面证明)，修正样本方差具有更好的统计性质，故样本方差均采用修正样本方差。

样本标准差

样本标准差定义为样本方差的算术平方根

$$S=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n{\left(X_i-\bar{X}\right)}^2}$$

样本原点矩

k阶原点矩为

$$A_k=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^k$$

样本中心距

k阶中心距为

$$B_k=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{\left(X_i-\bar{X}\right)}^k$$

样本均值与方差性质讨论

均值性质

如果总体$X$具有数学期望$E(X) = \mu $，则

$$E(\bar{X})=E(X)=\sigma$$

结论显然，证明从略。

方差性质

如果总体$X$具有方差$D(X)={\sigma }^2$，则

$$D(\bar{X})=\frac{1}{n}D(X)=\frac{{\sigma }^2}{n}$$
$$E(S^2)=D(X)={\sigma }^2$$

证明：

对于$D(\bar{X})=\frac{1}{n}D(X)=\frac{{\sigma }^2}{n}$：

$$D(\bar{X})=D(\frac{X_1+X_2+...+X_n}{n})$$

$$=D(\frac{X_1}{n})+D(\frac{X_2}{n})+...+D(\frac{X_n}{n})$$

$$=\frac{1}{n^2}D(X_1)+\frac{1}{n^2}D(X_2)+...+\frac{1}{n^2}D(X_n)$$

$$=\frac{1}{n^2}D(X)\times n=\frac{D(X)}{n}=\frac{{\sigma }^2}{n}$$

对于$E(S^2)=D(X)={\sigma }^2$：

$$E(S^2)=E\left(\frac{\sum _{i=1}^n{\left(X_i-\bar{X}\right)}^2}{n-1}\right)$$

$$=\frac{1}{n-1}E(\sum _{i=1}^n{\left(X_i-\bar{X}\right)}^2)$$

$$=\frac{1}{n-1}E(\sum _{i=1}^n\left(X_i^2-2X_i\bar{X}+{\bar{X}}^2\right))$$

$$=\frac{1}{n-1}E(\sum _{i=1}^n{X}_i^2-2\sum _{i=1}^n{X}_i\bar{X}+\sum _{i=1}^n{\bar{X}}^2)$$

$$=\frac{1}{n-1}E(\sum _{i=1}^n{X}_i^2-2n{\bar{X}}^2+\sum _{i=1}^n{\bar{X}}^2)$$

$$=\frac{1}{n-1}E(\sum _{i=1}^n{X}_i^2-n{\bar{X}}^2)$$

$$=\frac{1}{n-1}\left(\sum _{i=1}^{n}E(X_i^2)-nE({\bar{X}}^2)\right)$$

由方差公式，有：$E(X^2)=D(X)+(E(X){)}^2$，代入即得上式：

$$=\frac{1}{n-1}\left(\sum _{i=1}^{n}D(X_i)+(E(X_i){)}^2-n\left(D(\bar{X})+{(E(\bar{X}))}^2\right)\right)$$

$$=\frac{1}{n-1}\left(\sum _{i=1}^n{\sigma }^2+{\mu }^2-n\left(\frac{{\sigma }^2}{n}+{\mu }^2\right)\right)$$

$$=\frac{1}{n-1}\left(n{\sigma }^2+n{\mu }^2-n\left(\frac{{\sigma }^2}{n}+{\mu }^2\right)\right)$$

$$={\sigma }^2$$