这里用到了动态规划中的背包问题的解决方法。将dp[i]表示数字i有dp[i]种拆法，因此令dp[0] = 1，表示初始状态为空的情况。

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int n, a[21], dp[1000002];
int main()
{
    
    
	for(int i = 1; i <= 20; i++)
	a[i] = (1 << (i-1));
	dp[0] = 1;
	while(cin >> n)
	{
    
    
		memset(dp+1, 0, sizeof(dp));
		for(int i = 1; i <= 20; i++)
		{
    
    
			for(int j = a[i]; j <= n; j++)
			{
    
    
				dp[j] += dp[j-a[i]];//加上选a[j]的方案，因为加上不选a[j]的方案后数字不变。
				dp[j] %= 1000000000;
			}
		}
		cout << dp[n] << endl;
	}
}

另一种更容易理解的方法：
链接：https://www.nowcoder.com/questionTerminal/376537f4609a49d296901db5139639ec
来源：牛客网

搬运一下思路：
记f(n)为n的划分数，我们有递推公式：
f(2m + 1) = f(2m)，
f(2m) = f(2m - 1) + f(m)，
初始条件：f(1) = 1。
证明:
证明的要点是考虑划分中是否有1。

记:
A(n) = n的所有划分组成的集合，
B(n) = n的所有含有1的划分组成的集合，
C(n) = n的所有不含1的划分组成的集合，
则有: A(n) = B(n)∪C(n)。

又记:
f(n) = A(n)中元素的个数，
g(n) = B(n)中元素的个数，
h(n) = C(n)中元素的个数，
易知: f(n) = g(n) + h(n)。
以上记号的具体例子见文末。

我们先来证明: f(2m + 1) = f(2m)，
首先，2m + 1 的每个划分中至少有一个1，去掉这个1，就得到 2m 的一个划分，故 f(2m + 1)≤f(2m)。
其次，2m 的每个划分加上个1，就构成了 2m + 1 的一个划分，故 f(2m)≤f(2m + 1)。
综上，f(2m + 1) = f(2m)。

接着我们要证明: f(2m) = f(2m - 1) + f(m)，
把 B(2m) 中的划分中的1去掉一个，就得到 A(2m - 1) 中的一个划分，故 g(2m)≤f(2m - 1)。
把 A(2m - 1) 中的划分加上一个1，就得到 B(2m) 中的一个划分，故 f(2m - 1)≤g(2m)。
综上，g(2m) = f(2m - 1)。

把 C(2m) 中的划分的元素都除以2，就得到 A(m) 中的一个划分，故 h(2m)≤f(m)。
把 A(m) 中的划分的元素都乘2，就得到 C(2m) 中的一个划分，故 f(m)≤h(2m)。
综上，h(2m) = f(m)。

所以: f(2m) = g(2m) + h(2m) = f(2m - 1) + f(m)。

这就证明了我们的递推公式。

#include<cstdio>
const int maxn = 1e6+1;
int n, result[maxn];
int main()
{
    
    
	result[0] = result[1] = 1;
	for(int i = 2; i < maxn; i++)
	{
    
    
		if(i % 2 == 0)
		result[i] = result[i-1] + result[i/2];
		else
		result[i] = result[i-1];
		result[i] %= 1000000000;
	}
	while(scanf("%d", &n) != EOF)
	printf("%d\n", result[n]);
}