题目地址:
https://www.acwing.com/problem/content/106/
在一个数轴上有 N N N家商店,坐标分别是 A 1 ∼ N A_{1\sim N} A1∼N,需要在数轴上建立一个仓库,使得所有商店到这个仓库的距离总和最小。问这个仓库应该建在何处,返回最小的距离总和。
输入格式:
第一行输入整数 N N N。第二行 N N N个整数 A 1 ∼ A N A_1\sim A_N A1∼AN。
输出格式:
输出一个整数,表示距离之和的最小值。
数据范围:
1 ≤ N ≤ 100000 1\le N\le 100000 1≤N≤100000
0 ≤ A i ≤ 40000 0\le A_i\le 40000 0≤Ai≤40000
设仓库建在 x x x这个位置,令 f ( x ) = ∑ ∣ x − A i ∣ f(x)=\sum |x-A_i| f(x)=∑∣x−Ai∣,那么 f ′ ( x ) = ∣ { A i : A i < x } ∣ − ∣ { A i : A i > x } ∣ f'(x)=|\{A_i:A_i<x\}|-|\{A_i:A_i>x\}| f′(x)=∣{ Ai:Ai<x}∣−∣{ Ai:Ai>x}∣,可以看出,当 x x x从 − ∞ -\infty −∞到 + ∞ +\infty +∞变化的时候, f ’ f’ f’由负到正,所以 f ( x ) f(x) f(x)先降后升,而 f ( x ) f(x) f(x)取最小应当是在 f ′ ( x ) = 0 f'(x)=0 f′(x)=0的时候,即 x x x取中位数即可。求中位数可以用快速选择算法,参考https://blog.csdn.net/qq_46105170/article/details/113794540。代码如下:
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 100010;
int a[N];
int quick_select(int l, int r, int idx) {
int i = l, j = r;
int m = a[l + (r - l >> 1)];
do
{
while (a[i] < m) i++;
while (a[j] > m) j--;
if (i <= j) {
swap(a[i], a[j]);
i++;
j--;
}
} while (i <= j);
if (idx <= j) return quick_select(l, j, idx);
else if (idx >= i) return quick_select(i, r, idx);
else return a[idx];
}
int main() {
int n;
cin >> n;
for (int i = 0; i < n; i++) cin >> a[i];
int res = 0;
int x = quick_select(0, n - 1, n / 2);
for (int i = 0; i < n; i++) res += abs(a[i] - x);
cout << res << endl;
return 0;
}
平均时间复杂度 O ( n ) O(n) O(n),平均空间 O ( log n ) O(\log n) O(logn)。