§01 数学原理

1.1 导数与微分

1.1.1 导数定义

设 $w=f\left(z\right)$ 是定义在区域 $D$ 上的函数。 $z_0$ 为 $D$ 中的一点，点 $z_0+\Delta z$ 也在区域 $D$ 中。如果极限 $$\underset{\Delta z\to 0}{\lim }\frac{f\left(z_0+\Delta z\right)-f\left(z_0\right)}{\Delta z}$$ 存在，那么称 $f\left(z\right)$ 在 $z_0$ 可导，并定义 $f\left(z\right)$ 在 $z_0$ 的导数为 $$f^{\prime }\left(z_0\right)={\frac{dw}{dz}|}_{z=z_0}=\underset{\Delta z\to 0}{\lim }\frac{f\left(z_0+\Delta z\right)-f\left(z_0\right)}{\Delta z}$$

极限 $\underset{\Delta z\to 0}{\lim }\frac{f\left(z_0+\Delta z\right)-f\left(z_0\right)}{\Delta z}$ 存在是指对于任意给定的 $\epsilon >0$ ，相应有一个 $\delta \left(\epsilon \right)>0$ 使得当 $0<\left|\Delta z\right|<\delta$ 时，有 $$\left|\frac{f\left(z_0+\Delta z\right)-f\left(z_0\right)}{\Delta z}-f^{\prime }\left(z_0\right)\right|<\epsilon$$

（1）重要说明

  特别需要指出， $z_0+\Delta z\to z_0$ 的方式是任意的。无论 $\Delta z$ 以何种方式趋向于0，都不会影响 $\frac{f\left(z_0+\Delta z\right)-f\left(z_0\right)}{\Delta z}$ 的取值。这是一个比实变函数极限要求高得多的限制。

  如果 $f\left(z\right)$ 在区域 $D$ 内处处可导，则称 $f\left(z\right)$ 在 $D$ 内可导。

（2）可导与连续

• 函数 $f\left(z\right)$ 在 $z_0$ 处可导，则必然在 $z_0$ 处连续；
• 反之，函数 $f\left(z\right)$ 在 $z_0$ 连续，而未必在 $z_0$ 处可导；

1.1.2 求导法则

  可以将一元实变函数的求导法则推广到复变函数中类，证明方法也是相同的。

  （1） ${\left(c\right)}^{\prime }=0$ ，其中 $c$ 是复常数；
  （2） ${\left(z^n\right)}^{\prime }=n{z}^{n-1}$ ，其中 $n$ 是正整数；
  （3） ${\left[f\left(z\right)\pm g\left(z\right)\right]}^{\prime }=f^{\prime }\left(z\right)\pm g^{\prime }\left(z\right)$ ；
  （4） 当 $g\left(z\right)\ne 0$ 时 $${\left[\frac{f\left(z\right)}{g\left(z\right)}\right]}^{\prime }=\frac{1}{g^2\left(z\right)}\left[g\left(z\right)f^{\prime }\left(z\right)-f\left(z\right)g^{\prime }\left(z\right)\right]$$
  （5） { f [ g ( z ) ] } ′ = f ′ ( w ) g ′ ( z ) \left\{ {f\left[ {g\left( z \right)} \right]} \right\}^\prime = f'\left( w \right)g'\left( z \right) { f[g(z)]}′=f′(w)g′(z) ，其中 $w=g\left(z\right)$ ；
  （6） 如果 $w=f\left(z\right)$ 与 $z=\varphi \left(w\right)$ 是两个互为反函数的单值函数，且 ${\varphi }^{\prime }\left(w\right)\ne 0$ ，那么 $$f^{\prime }\left(z\right)=\frac{1}{{\varphi }^{\prime }\left(w\right)}$$

比如 $w=e^z$ 与 $z=\ln \left(w\right)$ 是两个互为反函数， $$z^{\prime }\left(w\right)=\frac{1}{{\left[e^z\right]}^{\prime }}=\frac{1}{e^z}=\frac{1}{e^{\ln \left(w\right)}}=\frac{1}{w}$$

1.1.3 微分定义

  如果 $f\left(z\right)$ 在 $z_0$ 可导，那么 $$\Delta w=f\left(z_0+\Delta z\right)-f\left(z_0\right)=f^{\prime }\left(z_0\right)\Delta z+\rho \left(\Delta z\right)\Delta z$$

其中 $\underset{\Delta z\to 0}{\lim }\rho \left(\Delta z\right)=0$ ，所以 $\left|\rho \left(\Delta z\right)\cdot \Delta z\right|$ 是 $\left|\Delta z\right|$ 的高阶无穷小量。此时，称 $f^{\prime }\left(z_0\right)\Delta z$ 为函数 $w=f\left(z\right)$ 在点 $z_0$ 的微分。

如果函数在 $z_0$ 的微分存在，则称函数 $f\left(z\right)$ 在 $z_0$ 处可微，并记 $$dw=f^{\prime }\left(z_0\right)dz,f^{\prime }\left(z_0\right)={\frac{dw}{dz}|}_{z=z_0}$$

1.2 解析函数

1.2.1 解析函数定义

  如果函数 $f\left(z\right)$ 在 $z_0$ 以及 $z_0$ 的邻域内处处可导，那么称 $f\left(z\right)$ 在 $z_0$ 解析。如果 $f\left(z\right)$ 在 $D$ 中每一点都解析，则称 $f\left(z\right)$ 在 $D$ 内解析，或称 $f\left(z\right)$ 是 $D$ 内的一个解析函数（全纯函数[Holomorphic function]、正则函数）。

• 奇点：如果 $f\left(z\right)$ 在 $z_0$ 不解析，称 $z_0$ 为 $f\left(z\right)$ 的奇点。

函数 $f\left(z\right)$ 在区域 $D$ 内解析与可导是等价的；但在某一点 $z_0$ 处可导与解析是不等价的。 在某一点解析便可导；但在某一点可导并不意味解析。

1.2.2 四则运算与复合

  （1） 两个在 $D$ 内解析的函数 $f\left(z\right),g\left(z\right)$ 之间的和、差、乘积、商（除去分母为0的点）在 $D$ 内都解析；
  （2） 函数 $h=g\left(z\right)$ 在 $z$ 平面区域 $D$ 内解析，函数 $w=f\left(h\right)$ 在 $h$ 平面区域 $G$ 解析。对于 $D$ 内的每一点 $z$ ，函数 $g\left(z\right)$ 对应值 $h$ 都属于 $G$ ，那么复函数 $w=f\left[g\left(z\right)\right]$ 在 $D$ 内解析。

  因此，所有的多项式以及有理分式（在分母不为零的点）在复平面处处解析。分母为0的点是有理分式的奇点。

1.3 解析的充要条件

1.3.1 可导的必要条件

  函数 $f\left(z\right)=u\left(x,y\right)+iv\left(x,y\right)$ 在区域 $D$ 内一点 $z=x+iy$ 的可导的充分必要条件： $$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$$ 该方程称为柯西-黎曼（Cauchy-Reimann）方程。

  证明： 【略】

  满足柯西-黎曼方程也是复变函数 $f\left(z\right)=u\left(x,y\right)+iv\left(x,y\right)$ 解析的充要条件。并且 $$f^{\prime }\left(z\right)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{1}{i}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial y}$$

§02 应用举例

2.1 判断函数可导、解析

2.1.1 判断函数是否可导、可微

  判断下列函数在何处可导、在何处解析。 $$\left(1\right)w=\bar{z};\left(2\right)f\left(z\right)=e^x\left(\cos y+i\sin y\right);\left(3\right)w=z\mathrm{Re}\left(z\right)$$

  求解：
  （1） 因为 $u=x,v=-y$ ，所以 $$\frac{\partial u}{\partial x}=1,\frac{\partial u}{\partial y}=0,\frac{\partial v}{\partial x}=0,\frac{\partial v}{\partial y}=-1$$ 并不满足Cauchy-Reimann方程，所以该函数处处不可导、不解析。

  （2） 因为 $u=e^x\cos y,v=e^x\sin y$ ，所以 $$\frac{\partial u}{\partial x}=e^x\cos y,\frac{\partial u}{\partial y}=-e^x\sin y,\frac{\partial v}{\partial x}=e^x\sin y,\frac{\partial v}{\partial y}=e^x\cos y$$ 满足Cauchy-Reimann方程，所以该函数在复平面上处处可导、可微；并且 $$f^{\prime }\left(z\right)=e^x\left(\cos y+i\sin y\right)=f\left(z\right)$$

  （3） $w=z\mathrm{Re}\left(z\right)=x^2+ixy$ 。对应 $u=x^2,v=xy$ ，那么 $$\frac{\partial u}{\partial x}=2x,\frac{\partial u}{\partial y}=0,\frac{\partial v}{\partial x}=y,\frac{\partial v}{\partial y}=x$$ 可以看到这四个偏导数，只有在 $x=y=0$ 时满足Cauch-Reimann方程，所以该函数仅在 $z=0$ 处可导，但处处不可微。

2.1.2 函数解析的条件

  设函数 $$f\left(z\right)=x^2+axy+b{y}^2+i\left(c{x}^2+dxy+y^2\right)$$ 问常数 $a,b,c,d$ 取何值时， $f\left(z\right)$ 在复平面上处处解析？

  求解：由于 $$\frac{\partial u}{\partial x}=2x+ay,\frac{\partial u}{\partial y}=ax+2by,\frac{\partial v}{\partial x}=2cx+dy,\frac{\partial v}{\partial x}=dx+2y$$ 所以为了满足柯西-黎曼方程，需要 $$2x+ay=dx+2y,2cx+dy=-ax-2by$$ 因此当 $a=2,b=-1,c=-1,d=2$ 时，函数在复平面上处处解析。

§03 信号与系统

  在信号与系统中，属于复变函数的信号往往都是经过变换（Laplace变换，z变换）的信号。对于常见到的典型信号（指数、正弦等）的变换大都属于有理多项式函数，或者伴随有指数函数。在数学上这些都属于处处可导、解析的函数。

3.1 解析信号

  在信号与系统中，解析信号（ Analytic signal ）是指没有负频率分量的复值信号。这类信号的实部和虚部信号之间满足希尔伯特变换（ Hiltbert Transform ）。信号 $f\left(t\right)$ 对应的解析信号为 $$f_a\left(t\right)=f\left(t\right)+j\left[\frac{1}{\pi t}\ast f\left(t\right)\right]=f\left(t\right)+j\cdot \hat{f}\left(t\right)$$

  解析信号的定义实际上与前面关于复变函数的解析定义没有太多的关系。下面仅仅为了补充些知识，将解析信号的相关内容进行介绍。

3.1.1 希尔伯特变换

  对信号 $f\left(t\right)$ 的希尔伯特变换可以看成与信号 $h\left(t\right)=\frac{1}{\pi t}$ （被称为 Cauchy Kernel ）的卷积过程。

$$H\left[f\left(t\right)\right]=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{f\left(\tau \right)}{t-\tau }d\tau =-\frac{1}{\pi }\underset{\epsilon \to 0}{\lim }{\int }_{\epsilon }^{+\infty }\frac{f\left(t+\tau \right)-f\left(t-\tau \right)}{\tau }d\tau$$
  根据傅里叶变换卷积定理，可以知道信号的希尔伯特变换的频谱是原来信号频谱乘以 $-i\mathrm{sgn}\left(\omega \right)$ 即 F { H [ f ( t ) ] } = − i s g n ( ω ) ⋅ F ( ω ) F\left\{ {H\left[ {f\left( t \right)} \right]} \right\} = - i{\mathop{\rm sgn}} \left( \omega \right) \cdot F\left( \omega \right) F{ H[f(t)]}=−isgn(ω)⋅F(ω)

  在信号与系统分析中，希尔伯特变换会出现在两个部分。

（1）单边带信号调制

  使用移项法获得信号单边带调制过程中，一路是将信号直接幅度调制在载波上，另外一路进行希尔伯特变换之后，然后调制在正交载波信号上。最终将两路调制信号叠加在一起便可以获得信号的单边带调制信号。

（2）系统函数因果特性

  对于连续时间线性时不变系统，根据系统函数判断系统的因果特性相对比较麻烦。存在几个因果系统的必要条件。其中一个是系统函数的实部和虚部之间满足希尔伯特变换。

  如果系统传递函数为 $H\left(\omega \right)=R\left(\omega \right)+j\cdot X\left(\omega \right)$ ，该系统为因果系统，那么
$$R\left(\omega \right)=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{X\left(\lambda \right)}{\omega -\lambda }d\lambda ,X\left(\omega \right)=-\frac{1}{\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{R\left(\lambda \right)}{\omega -\lambda }d\lambda$$

3.1.2 获得信号的包络线

  如果希望通过振荡信号的包络线获得调制信号，可以从信号的解析信号的幅度中获得，同时还可以通过解析信号幅角获得信号的瞬时相位以及瞬时频率等信息。

  下面显示了从一个调制有正弦信号的Chirp信号中获得包络线以及瞬时频率信号。

from headm import *
from scipy.signal import *

duration = 1.0
fs = 400.0
samples = int(fs*duration)
t = arange(samples)/fs

signal = chirp(t, 20.0, t[-1], 100.0)
signal *= (1.0 + 0.5*sin(2.0*pi*3.0*t))

analytic_signal = hilbert(signal)
amplitude_envelope = abs(analytic_signal)
instantaneous_phase = unwrap(angle(analytic_signal))
instantaneous_frequency = diff(instantaneous_phase)/(2.0*pi)*fs

plt.subplot(2,1,1)
plt.plot(t, signal, label='signal')
plt.plot(t, amplitude_envelope, label='envelope')
plt.xlabel('time in seconds')
plt.legend(loc='upper right')

plt.subplot(2,1,2)
plt.plot(t[1:], instantaneous_frequency)
plt.xlabel('time in seconds')
plt.ylim(0.0, 120.0)

plt.tight_layout()

plt.show()

§04 作业练习

4.1 可导、可微

4.1.1 推导函数导数

  利用导数定义推导：
  （1） ${\left(z^n\right)}^{\prime }=n{z}^{n-1}$ ， $n$ 为正整数；
  （2） ${\left(\frac{1}{z}\right)}^{\prime }=-\frac{1}{z^2}$

4.1.2 判断函数可导、解析

  下列函数何处可导？何处解析？

  （1） $f\left(z\right)=x^2-iy$ ；
  （2） $f\left(z\right)=2x^3+3y^{3}i$ ；
  （3） $f\left(z\right)=x{y}^2+i{x}^{2}y$ ；
  （4） $f\left(z\right)=\sin x\cdot ch\left(y\right)+i\cos x\cdot sh\left(y\right)$

4.1.3 求下列函数的奇点

  （1） $$\frac{z+1}{z\left(z^2+1\right)}$$
  （2） $$\frac{z-2}{{\left(z+1\right)}^2\left(z^2+1\right)}$$

4.2 证明题

如果 $f\left(z\right)=u+iv$ 是 $z$ 的解析函数，证明 $${\left(\frac{\partial }{\partial x}\left|f\left(z\right)\right|\right)}^2+{\left(\frac{\partial }{\partial y}\left|f\left(z\right)\right|\right)}^2={\left|f^{\prime }\left(z\right)\right|}^2$$

4.3 绘制解析函数图像

  由于复变函数是定义在复平面上的函数，相比于实变函数来讲，绘制函数波形更加困难。利用Python中的matplotlib中的绘制三维函数（幅度、相位、实部、虚部）可以让我们了解函数更多变化趋势。

（1）显示有理分式奇点

  下面显示了函数 $f\left(z\right)$ 的幅度图形，可以看到它具有三个奇点（极点：对应分母等于0的点）。

$$f\left(z\right)=\frac{z+1}{z\left(z^2+1\right)}$$

from headm import *
from mpl_toolkits.mplot3d   import Axes3D
from matplotlib import cm
import mpmath

mpmath.dps = 5

def arg2(x):
    return mpmath.sin(mpmath.arg(x))

f = lambda z: (z+1)/z/(z**2+1)

X = arange(-2, 2, 0.01)
Y = arange(-2, 2, 0.01)
X,Y = meshgrid(X,Y)
xn, yn = X.shape

W = X*0
for xk in range(xn):
    for  yk in range(yn):
        try:
            z = complex(X[xk,yk], Y[xk,yk])
            w = abs(f(z))
            if w != w:
                raise ValueError
            W[xk,yk] = w
        except(ValueError, TypeError, ZeroDivisionError):
            pass

    printf(xk, xn)

ax = plt.axes(projection='3d')
ax.plot_surface(X, Y, W, rstride=1, cstride=1, cmap=cm.jet)
plt.show()

4.3.1 显示解析函数幅度

  下面图形是显示了 $f\left(z\right)=z^3+2iz$ 的幅度图像。

■ 相关文献链接:

• Analytic signal
• Hiltbert Transform
• Cauchy Kernel

● 相关图表链接:

• 图2.1.1 函数的幅度图像
• 图2.1.2 函数的幅值图像
• 图2.1.3 函数的幅值图像
• 图3.1.1 移项法获得信号单边带调制结果
• 图3.1.2 利用信号的解析信号获得调制的包络线
• 图4.3.1 复变函数的幅度图像
• 图4.3.2 解析函数的图像